Потенциальная энергия

Потенциальная энергия тела (и механической системы вообще) складывается из потенциальных энергий отдельных его фрагментов.

Выберем одну из поверхностей уровня и назначим ее поверхностью нулевого уровня потенциальной энергии, т.е. на этой поверхности считается .

Потенциальная энергия малого фрагмента системы, находящегося в точке поля, равна работе, совершаемой силой при перемещении фрагмента из точки на поверхность нулевого уровня: . Тогда

Из сравнения с выражением следует, что

; .

3.2.12. Работа силы тяжести. Потенциальная энергия тяжелого тела

Пусть ось направлена вертикально вверх. Работа постоянной силы , приложенной в центре тяжести тела, равна

, или ,

где - перепад высот между начальным и конечным положениями центра тяжести тела - малая величина сравнительно с радиусом Земли. Из формулы следует, что работа не зависит от формы траектории центра тяжести, следовательно, гравитационное поле потенциально. Потенциальная энергия тела зависит от положения его центра тяжести: . Пусть ; тогда .

Пусть , где - гравитационная постоянная, М – масса Земли, - расстояние от центра Земли до центра тяжести тела. Пусть ; тогда .

Пример. Пусть механическая система (рис. 10,а) состоит из трех тел массами , невесомых нерастяжимых нитей и невесомых блоков. Она имеет 2 степени свободы; назначаем обобщенные координаты , отсчитываемые от точек схода нитей. Потенциальная энергия системы есть функция . Пусть ; тогда

.

 

3.2.13. Работа упругой силы. Потенциальная энергия упругого элемента

Пусть упругий элемент механической системы (напр., пружина) деформируется в соответствии с законом Гука (см. п. 3.1.8). Работа упругой силы определяется формулой

,

где с – коэффициент упругости, - начальная деформация, - конечная деформация пружины. Введем координату , так что , и пусть . Тогда потенциальная энергия пружины .

Пример. Механическая система (рис. 10,б) состоит из двух тел массами , перемещающихся по горизонтальной направляющей, и невесомых пружин, имеющих упругие параметры . Назначаем обобщенные координаты , означающие абсолютные смещения тел из их положений равновесия (когда пружины не деформированы). Здесь потенциальная энергия . Положим ; тогда получим, что

-

- квадратичная форма относительно обобщенных координат.

 

а б в

Рис. 10. Механические системы с двумя и с одной степенью свободы