Уравнения кинетостатики твердого тела

Для механической системы, состоящей из материальных точек, можно составить уравнений кинетостатики в векторной форме:

, .

Здесь - равнодействующая активных сил, приложенных к -ой точке системы, - равнодействующая реакций связей, - сила инерции. Совершая алгебраические действия над этими уравнениями, можно получить различные следствия из них, например:

а) главный вектор всех сил (задаваемых сил, реакций и сил инерции) равен нулю:

.

б) главный момент всех сил относительно неподвижного полюса равен нулю:

.

Последние два уравнения являются уравнениями кинетостатики твердого тела. Записав их в проекциях на оси декартовой системы координат, получим 6 скалярных уравнений, что соответствует шести степеням свободы твердого тела в общем случае его движения.

3.3.3. Дифференциальные уравнения движения твердого тела можно вывести, например, из теорем об изменении количества движении (теорема о движении центра масс) и кинетического момента.

Поступательное движение тела описывается уравнениями

где - координаты центра масс, - проекции внешних сил (задаваемых сил и реакций связей).

Вращение тела вокруг неподвижной оси описывается уравнением

,

где - момент инерции тела относительно оси вращения ,

- угол поворота тела, согласованный по направлению с осью ,

- момент внешней силы относительно оси .

Плоскопараллельное движение тела описывается уравнениями

, ,

где - момент инерции тела относительно некоторой оси , перпендикулярной плоскости движения.

Дифференциальные уравнения сферического движения содержат в своем выражении компоненты тензора инерции и проекции угловой скорости. Эти уравнения могут быть проинтегрированы в квадратурах только в специальных случаях.

Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела составляют обычно как уравнения движения центра масс и уравнения сферического движения вокруг центра масс.