При першому знайомстві з механічними напруженнями відмічалося, що напруження в точці залежать від орієнтації перерізу. Сукупність напружень, що діють по різних площадках, проведених через точку, характеризують напружений стан у точці.
Оберемо довільну ортогональну систему координат і запишемо напруження, які діють у досліджуваній точці деталі на малих координатних площадках (рисунок 8.1 а), у вигляді
(8.1)
Математичний об’єкт (8.1) називають тензором напружень .
а)
б)
Рисунок 8.1
У тій самій точці деталі уявно виріжемо тетраедр (рисунок 8.1 б), три грані якого – координатні площадки, а одна грань – довільно орієнтована площадка з нормаллю . Якщо заданий тензор , тобто задані напруження на координатних площадках, то з трьох рівнянь рівноваги ( , , ) сил, що діють на грані тетраедра, можна визначити три невідомі складові повного напруження на довільній площадці. Оскільки таким чином можна визначити напруження на будь-якій площадці, то можна стверджувати:
Тензор напружень цілком визначає напружений стан у точці.
Тензор напружень симетричний відносно головної діагоналі:
; ; . (8.2)
Це можна довести з рівнянь рівноваги ( , , ) щодо моментів сил, які діють на грані малого кубика (рис. 8.1 а). Рівняння (8.2) відомі як закон парності дотичних напружень:
На будь-яких ортогональних площадках дотичні напруження,
перпендикулярні спільному ребру цих площадок, рівні за величиною
та спрямовані обидва до ребра або обидва від ребра.
Тензор напружень може бути приведений до діагонального виду
( ) (8.3)
Це означає, що у будь-якій точці деталі завжди знайдуться три ортогональні головні площадки, на яких немає дотичних напружень. Ці площадки розташовуються у площинах симетрії еліпсоїда, в який перетворюється кулька після деформування (рисунок 8.2).
| Рисунок 8.2 |
Їм дають числові індекси відповідно з правилом
Головні напруження являються коренями характеристичного або, за іншою назвою, „вікового” рівняння тензора напружень:
. (8.4)
Головні напруження мають екстремальні властивості, тобто – найбільше, а – найменше за інші напруження на будь-яких площадках в даній точці деталі.
„Вікове” рівняння (8.4) завжди має три дійсні корені – головні напруження. Відповідно до кількості ненульових коренів класифікують види напруженого стану (НС):
· Одновісний (лінійний) НС – лише одне головне напруження ненульове.
· Двовісний (плоский) НС – два з трьох головних напружень ненульові.
·
Особливо можна виділити окремий випадок двохвісного НС –
чистий зсув:
| той же тензор, але в різних системах координат |
Можна довести, що на площадках, однаково нахилених до головних площадок та (тобто під кутом ), діють максимальні дотичні напруження, величина яких
(8.5)
Ці дотичні напруження більші за всі , які діють на будь-яких інших площадках у даній точці деталі. Як ми узнаємо далі, на цьому важливому факті будується один з підходів щодо оцінки небезпечності напруженого стану в точці.
У загальному випадку всякому напруженому стану в точці деталі відповідає певний деформований стан, який представляє сукупність лінійних деформацій по різних напрямках та кутових деформацій на всіляко орієнтованих площадках. Аналогічно тензору напружень тензор деформацій
(8.6)
цілком визначає деформований стан у точці. Тензор деформацій має властивості, аналогічні властивостям тензора напружень . Головні деформації – це деформації у напрямках головних напружень .
Зв’язок між компонентами і встановлюють експериментально та формулюють у виді фізичного закону. Для пружного матеріалу при малих деформаціях напруження і деформації зв’язані лінійними залежностями, які називають узагальненим законом Гука (всього шість рівнянь (8.7), (8.8)):
; ;
; (8.7) ; (8.8)
; ,
де , , – пружні константи.