ОПОРНИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ з дисципліни “Прикладна механіка”

УКРАЇНСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМІЯ

ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ

 

 

Кафедра “Механіка і проектування машин”

 

ОПОРНИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

 

 

з дисципліни “Прикладна механіка”

 

 

Частина I

 

Основи розрахунків на міцність

 

Харків 2004

Конспект лекцій розглянуто і рекомендовано до друку на засіданні кафедри “Механіка і проектування машин” 3 грудня 2003 р., протокол № 4.

 

 

Рекомендується студентам усіх форм навчання.

 

Укладачі:

 

проф. В.І.Мороз,

доценти В.І.Іщенко,

Ю.О. Ярошок,

Н.П. Карпенко,

О.В. Братченко

 

 

Рецензент

проф. С.А.Єрощенков

 

 

Вступ

 

Навчальними планами для студентів факультету Управління процесами перевезень і механічного факультету (спеціальностей “Теплоенергетика”, “Електричний транспорт”, “Електричні системи і комплекси”) передбачено вивчення дисципліни “Прикладна механіка”, яка розглядається як одна з основних складових загальноінженерної підготовки майбутніх фахівців транспорту. Це визначає відповідні вимоги до методичного забезпечення навчального процесу, особливо в умовах організації самостійної роботи студентів при впровадженні кредитно-модульної системи.

Певними труднощами при створенні такого методичного забезпечення є вирішення проблеми його універсальності при максимальному урахуванні особливостей кожної спеціальності і спеціалізації, за якими ведеться підготовка студентів.

Для вирішення цієї проблеми на кафедрі “Механіка і проектування машин” впроваджено відповідний методичний підхід. Він полягає у розробці інформаційно-довідкових робочих конспектів для студентів різних спеціальностей, які забезпечують кероване самостійне вивчення дисципліни “Прикладна механіка” на основі використання базового конспекту лекцій (охоплює усі розділи робочих програм).

Базовий конспект лекцій з дисципліни “Прикладна механіка” складається з трьох частин – “Основи розрахунків на міцність”, “Основи проектування машин”, “Основи конструювання деталей машин”. Даний конспект лекцій є першою частиною базового конспекту лекцій з дисципліни “Прикладна механіка”, який містить усі основні тематичні модулі, що виділені у робочих програмах цієї дисципліни для студентів усіх спеціальностей.

З метою найбільш повного урахування особливостей висвітлення окремих розділів дисципліни для студентів різних спеціальностей, в його розробці і рецензуванні приймали участь провідні викладачі випускних кафедр академії.

Зміст

 

Вступ……………………………………………………………………..
1 Основні поняття………………………………………………………
2 Розрахунки на міцність при деформації “розтяг-стискання”……...
3 Дослідне вивчення механічних властивостей матеріалів…………
4 Розрахунки на міцність при деформації “зсув”…………………….
5 Геометричні характеристики плоских перерізів…………………...
6 Розрахунки на міцність при деформації “кручення”………………
7 Розрахунки на міцність при “згинанні”……………………………
8 Елементи теорії напруженого та деформованого стану у точці та основні теорії міцності………………………………………………….
9 Розрахунок на стійкість……………………………………………...
10 Розрахунки на витривалість………………………………………..
11 Приклади розв’язання інженерних задач з розрахунків на міцність……………………………………………………………………...
Список літератури………………………………………………………

 

 

ОСНОВИ РОЗРАХУНКІВ НА МІЦНІСТЬ

 

Основні поняття

В основах розрахунків на міцність розглядаються і вирішуються на рівні інженерних методів питання про міцність, жорсткість та стійкість елементів… Міцність– здатність конструкцій (також матеріалів, з яких вони виготовлені)… Жорсткість – здатність конструкцій опиратися деформуванню (зміні форми і розмірів) під дією навантажень.

Розтягнутий стержень деформується , як це зображено на рисунку 2.1, і змінює свої подовжні та поперечні розміри на відповідні величини та (при стиску було б та ).

Відносні деформації:

подовжня (2.2)

поперечна (2.3)

Експериментально встановлено, що в межах пружних деформацій для кожного матеріалу зберігається постійне відношення

(2.4)

Ця пружна константа називається коефіцієнтом поперечної деформації, або коефіцієнтом Пуассона.

Для будь-яких ізотропних матеріалів . Для більшості конструкційних матеріалів ; для пробки ; для гуми, рідини, а також при пластичних деформаціях твердих тіл можна прийняти .

Експерименти свідчать, що при навантаженні у відповідних межах для більшості матеріалів можна прийняти:

. (2.5)

Ця залежність має назву закон Гукаі формулюється таким чином:

Нормальні напруження прямо пропорційні лінійним деформаціям.

В формулі (2.5) – модуль подовжньої пружності або модуль пружності першого роду. Він характеризує властивості матеріалу опиратися пружному деформуванню, тобто чим більший модуль , тим менше деформується матеріал. Оскільки – безрозмірна величина, то одиниці вимірювання ті ж, що і у , тобто Паскаль.

Для конструкційних сталей приймають , для міді .

Якщо в формулу (2.5) закону Гука підставити значення та згідно з (2.1) і (2.2), то отримаємо запис закону Гука для визначення абсолютних деформацій

. (2.6)

В цій формулі добуток називається жорсткістю при розтягу.

Слід відзначити, що формулою (2.6) можливо користуватися на ділянці стержня, в межах якої і залишаються постійними.

Формула для перевірки умов міцності при деформації що розглядається наведена у розділі 3.

 

3 Дослідне вивчення механічних властивостей матеріалів

 

При розрахунках на жорсткість і міцність необхідно знати механічні характеристики матеріалів: модуль пружності, коефіцієнт Пуассона, границі текучості та міцності, твердість та інші. Для їх визначення проводять спеціальні випробування матеріалів.

Найбільш важливими і водночас простими є випробування на розтяг. Для цього використовують спеціальні зразки – циліндричні (рисунок 3.1 а) або плоскі (рисунок 3.2 б). Згідно з відповідним ГОСТом зразки можуть мати різні розміри та форму, але при цьому витримуються співвідношення подібності:

· для так званих довгих зразків ; ( );

· або для коротких зразків ; ( ).

а)

б)

 

Рисунок 3.1 – Зразки для випробувань матеріалів на розтяг

 

Вимоги геометричної подібності дозволяють для одних і тих же матеріалів отримувати схожі результати в різних лабораторіях, на різних зразках.

Зразок встановлюється у захватах та розтягується на спеціальній машині. Сучасні машини, зазвичай, автоматично вимірюють навантаження і абсолютне подовження і записують діаграму розтягу . Для подальших розрахунків отриману діаграму перебудовують в систему координат .

Для прикладу розглянемо детально діаграму розтягу маловуглецевої сталі (рис. 3.2). Наведемо назви ділянок і характерні точки діаграми. Позначення на рисунку відповідних механічних характеристик даються згідно з міжнародним стандартом. В тексті в дужках наведені також позначення з російськомовними індексами, бо такі позначення існують в переважній більшості технічної та навчальної літератури.

· Ділянка – зона пропорційності, де виконуються пропорційні співвідношення між та або між та .

 

 

Рисунок 3.2 – Діаграма розтягу маловуглецевої сталі

 

Границя пропорційності (рос. предел пропорциональности ) – це граничне напруження, до котрого матеріал підкоряється закону Гука.

Тангенс кута нахилу ділянки .

· Ділянка – зона пружності.

Між точками і діаграма трохи викривляється і закон Гука вже не виконується з достатньою точністю. Але, якщо напруження не перевищують точки , то при повному розвантаженні зразок повернеться до первісних розмірів, тобто до точки деформації пружні.

Границя пружності (рос. предел упругости ) – це граничне напруження, до котрого матеріал деформується пружно.

Більш точно сказати, що при розвантаженні з точки залишкові деформації не перевищують , а умовну границю пружності позначають .

Для сталі Ст.3 , . Для більшості матеріалів можна нехтувати дуже невеликою різницею між границями пропорційності та пружності; тобто можна вважати, що точки і діаграми збігаються.

· За межами зони пружності матеріал зразка деформується пружно-пластично. Якщо з будь-якого місця діаграми (вище точки ), наприклад з точки , провести розвантаження, то лінія розвантаження буде завжди паралельною ділянці . Точка відповідає величині залишкової деформації. При повторному навантаженні цього зразка лінія навантаження завжди збігається з лінією розвантаження (той же кут на рисунок 3.2).

Якщо не враховувати залишкову деформацію і умовно помістити початок координат у точку , то вийде, що зона пропорційності стала більшою ніж була спочатку. Таким чином, після попереднього пластичного деформування границя пропорційності матеріалу зростає. Це явище має назву наклеп і широко використовується у техніці для зміцнення деталей.

· Горизонтальна ділянка – площадка текучості. На цій ділянці деформація зростає практично без підвищення навантаження, і таке явище має назву текучості матеріалу.

Границя текучості (фізична) (рос. предел текучести ) – це напруження, яке відповідає площадці текучості на діаграмі (рисунок 3.2).

Для сталі Ст.3 .

Діаграма розтягу багатьох конструкційних матеріалів не має горизонтальної площадки текучості, тому не може бути визначена фізична границя текучості. Для таких матеріалів через важливість цієї механічної характеристики вводять умовну границю текучості – це таке напруження, якому відповідають залишкові деформації . (Див. рисунок 3.3: – уявна лінія розвантаження, а точка відповідає залишковій деформації ).

Рисунок 3.3

До матеріалів, для яких визначається умовна границя текучості, відносяться дюралюміній, бронза, високовуглецеві та леговані сталі (наприклад, для сталі 37ХН3А ).

· Ділянка (рисунок 3.2) – зона зміцнення. Після того, як матеріал пройшов стан текучості, він “зміцнюється”, бо до нього повертається здатність опиратися розтягу. Для збільшення довжини зразка необхідно знову збільшувати навантаження. Але діаграма підіймається за точкою більш положисто, ніж у зоні пружності.

Границя міцності або тимчасовий опір (рос. предел прочности или временное сопротивление ) – це відношення максимальної сили , яку може витримати зразок до його початкової площі перерізу .

Для сталі Ст 3 . У високоміцних сталей границя міцності сягає величини (сталь 40ХМНА та ін.).

У процесі навантаження зразка його довжина зростає, а переріз зменшується. У точці дійсна площа перерізу вже суттєво відрізняється від початкової площі , але для спрощення розрахунків всі характеристики міцності ( , , , ) обчислюються, виходячи з величини , тобто в умовних напруженнях (суцільна лінія на рисунку 3.2). Діаграма дійсних напружень, для яких враховується перемінна площа перерізу , показана на рисунку 3.2 штриховою лінією .

· Ділянка (рисунок 3.2) – зона локальної текучості. Доки навантаження зростало від нуля до максимального значення (точка ), зростання деформацій як пружних, так і пластичних (залишкових) відбувалося рівномірно по всій розрахунковій довжині зразка. При досягненні на діаграмі точки на зразку виникає місцеве звуження – шийка. З цієї миті деформації зростають лише поблизу шийки, яка швидко тоншає і, як наслідок, падає зусилля і умовне напруження. У точці зразок розривається.

Крім перелічених вище характеристик міцності (всі вони мають розмірність напружень – ) при випробуваннях на розтяг визначають також характеристики пластичності:

Відносне залишкове подовження при розриві , (3.1)

де – розрахункова довжина зразка після розриву.

Для сталі Ст 3 . У високоміцних сталей ця величина знижується до . Величина залежить від співвідношення довжини та поперечних розмірів зразка. Тому в довідниках указують на це: – означає, що подовження визначено на короткому зразку ( ); відповідно – для довгого зразка ( ).

Відносне залишкове звуження при розриві (3.2)

де – площа найменшого поперечного перерізу шийки після розриву.

Величина характеризує пластичні властивості матеріалу більш точно, ніж , бо вона менше залежить від форми зразка. Для сталі Ст 3
.

В залежності від відносного залишкового подовження при розриві всі матеріали діляться на пластичні та крихкі.

До дуже пластичних матеріалів відносяться мідь, алюміній, латунь, маловуглецева сталь (діаграма розтягу якої на рисунку 3.2 нами розглядалася). Менш пластичними є дюраль і бронза, а слабопластичними – більшість легованих сталей.

До крихких відносять матеріали (чавун, загартовані сталі), для яких ; а для дуже крихких (кераміка) може дорівнювати навіть долям відсотків.

Слід відзначити, що поділення матеріалів на пластичні та крихкі є умовним, бо в залежності від умов випробувань (швидкості навантаження, температури) та виду напруженого стану крихкі матеріали здатні вести себе як пластичні, а пластичні – як крихкі. Наприклад, чавунний зразок в умовах всебічного стиску веде себе як пластичний, бо не руйнується навіть при значних деформаціях. І навпаки, зразок із маловуглецевої сталі з виточкою руйнується при незначних деформаціях.

Таким чином, вірніше говорити про пластичний чи крихкий стан матеріалу (або його поведінку).

При розтягу крихких матеріалів спостерігається ряд особливостей. Діаграма розтягу чавуна показана на рисунку 3.4. З діаграми видно, що відхилення від закону Гука починається дуже рано. Розрив настає раптово (точка діаграми) при дуже малих деформаціях і без утворення шийки, що характерно для всіх крихких матеріалів.

Рисунок 3.4

розтяг

стиск

При випробуваннях на розтяг та стиск крихких матеріалів визначають, як правило, лише границю міцності (максимальні умовні напруження, які витримує зразок).

Для випробувань на стиск беруть зразки у формі коротких циліндрів ( ) або кубиків. При стиску зразок із пластичного матеріалу не руйнується (лише розплющується), а із крихкого дає тріщини і руйнується. При цьому границя міцності крихкого матеріалу при стиску у декілька раз більше у порівнянні з розтягом (рисунок 3.4). Крихкий матеріал добре сприймає стиск і погано – розтяг.

У техніці в останні роки широко використовуються поліамідні волокна (капрон), полістирол та інші пластмаси. Механічні властивості пластмас дуже різноманітні. Пластики, наприклад, схильні до повзучості та релаксації напружень.

Повзучість – це повільне у часі зростання пластичних деформацій при постійному навантаженні, яке спочатку викликає лише пружні деформації. Повзучість ще називають пластичною (або пружно-пластичною) післядією.

Крива повзучості з її характерними ділянками зображена на рисунку 3.5: – пружні деформації при навантаженні; – стадія неусталеної повзучості; – стадія усталеної повзучості (швидкість повзучості постійна і мінімальна); – стадія прогресуючої повзучості (руйнування).

Для сталей і чавунів повзучість має значення лише при підвищеній
температурі ( ) і протікає тим інтенсивніше, чим вище температура. Для металів з низькою температурою плавлення (свинець, алюміній), для бетону, деревини, високополімерних матеріалів повзучість суттєва і при кімнатній температурі.

Рисунок 3.5 – Крива повзучості

Рисунок 3.6 – Крива релаксації

Релаксація – повільне у часі зменшення напружень при постійній повній деформації (рисунок 3.6).

 

При релаксації зростання пластичних деформацій компенсується одночасним зменшенням пружних деформацій, що і приводить до зменшення напружень. Релаксація напружень особливо небезпечна у фланцевому з`єднанні, бо може бути послаблена щільність з`єднання, а це призведе до порушення нормальної роботи конструкції (витікання газу або пару у фланцевому з`єднанні). Явище релаксації має місце при тих же умовах, що і явище повзучості. Основним методом попередження цього негативного явища є періодична затяжка болтового з’єднання фланців.

В заводських умовах часто треба перевірити міцність деталі, наприклад для контролю правильності проведеної термообробки. Вирізати зразок з виготовленої деталі, як правило, неможливо, тому для непрямого визначення міцності матеріалу застосовують випробування на твердість.

Твердістю називається властивість матеріалу протидіяти прониканню в його поверхню більш твердого тіла – наконечника (індентора).

Для визначення твердості використовують методи Бринеля, Роквела та Вікерса.

Числом твердості за Бринелем є відношення сили, з якою загартована кулька тисне на поверхню зразка, до площини одержаного при цьому відбитка: (3.3)

При випробуванні за методом Роквела у поверхню зразку вдавлюється гострий алмазний конус (шкала ) або сталева загартована кулька (шкала ). З урахуванням значень сили і глибини проникнення у зразок конуса (кульки) від двох послідовних навантаженнях по шкалі прибору визначається число твердості за Роквелом ( ).

Число твердості за Вікерсом є відношення сили , що тисне на алмазну пірамідку, до площини бічної поверхні, отриманого на поверхні зразка відбитку.

Між числом твердості та границею міцності для кожного матеріалу існує експериментально підтверджена залежність. Так, для вуглецевої сталі .

В результаті механічних випробувань визначаються граничні (небезпечні) напруження , при яких може порушитися працездатність конструкції. За небезпечне напруження при статичному навантаженні для пластичних матеріалів можна прийняти границю текучості , а для крихких – границю міцності на розтяг чи на стиск . Для забезпечення міцності деталей необхідно, щоб напруження, що виникають у них в процесі експлуатації, були меншими від небезпечних з певним запасом.

Максимальне безпечне напруження називається допустимим. Воно визначається як відношення небезпечного напруження до нормативного (призначеного нормами проектування конструкцій) коефіцієнту запасу:

. (3.4)

Нормативний коефіцієнт запасу лежить в широких межах . Його значення залежить від умов роботи деталі, точності методів розрахунку, властивостей матеріалу, призначення конструкції та інших факторів. Більш детальні рекомендації щодо нормативного коефіцієнта запасу наводяться у спеціальній довідниковій літературі в залежності від галузі техніки, досвіду проектування та експлуатації машин певного типу.

З урахуванням формули (2.1) умову міцності при розтягу можна записати у вигляді

. (3.5)

4 Розрахунки на міцність при деформації “зсув”

Зсув – це один з простих видів навантаження (деформування) бруса, при якому у поперечному перерізі бруса діє тільки внутрішня поперечна сила ( ). Практичним прикладом такого навантаження є різання ножицями металевих штаб або прутків.

Розглянемо брус, перпендикулярно осі якого прикладені дві рівні протилежно направлені сили , лінії дії котрих паралельні і знаходяться на незначній відстані (рисунок 4.1 а). При цьому елемент бруса довжиною зазнає деформації зсуву.

переріз

а)

б)

Рисунок 4.1 – Модель зсуву при різанні прутка

 

 

Для визначення поперечної сили використовуємо метод перерізів (статична сторона задачі). З умови рівноваги лівої частини бруса (рисунок 4.1 б)

(4.1)

З геометричної точки зору зсув характеризується величинами: – абсолютний зсув; – відносний зсув, що є мірою перекосу прямих кутів елемента. При деформації елемента в межах пружності значення дуже мале і його можливо виразити через кут зсуву

(4.2)

Фізична сторона представлена законом Гука при зсуві:

Дотичні напруження прямо пропорційні кутовим деформаціям.

, (4.3)

де - модуль пружності другого роду або модуль зсуву.

Для сталі . Можна довести теоретично, що пружні константи зв’язані між собою такою залежністю:

. (4.4)

Строго кажучи, задача визначення закону розподілу дотичних напружень по перерізу бруса статично невизначувана і потребує сумісного аналізу з статичної, геометричної та фізичної сторін (рівняння (4.1) – (4.3)). Але на практиці замість аналізу точної картини розподілу деформацій і напружень в перерізі приймають досить грубий спрощений підхід: приймають умовний рівномірний розподіл .

Якщо прийнято, що , то можна цю величину винести за знак інтеграла в рівнянні (4.1) і отримати розрахункову формулу

(4.5)

Якщо в формулу закону Гука (4.3) підставити і , то ми отримаємо формулу для визначення абсолютного зсуву

. (4.6)

В цій формулі добуток називається жорсткістю при зсуві.

Незважаючи на те, що формули (4.5) і (4.6) з теоретичної точки зору не досить коректні, але практичні розрахунки на міцність дають надійний результат, бо неточності методу враховуються нормативним коефіцієнтом запасу або величиною допустимого напруження .

Умова міцності при зсуві має вигляд

(4.7)

Допустиме дотичне напруження при зсуві можливо виразити через допустиме напруження при розтягу .

Як приклад розрахунку на міцність при деформації зсуву розглянемо заклепочні з’єднання (рисунок 4.2), (рисунок 4.3).

 

 

Рисунок 4.2 – Заклепочне з’єднання двох листів унапуск (однозрізне)

 

 

Рисунок 4.3 – Стикове з’єднання листів з накладками (двозрізне)

 

Чим більше заклепок в подовжньому ряду, тим більш нерівномірно розподіляється навантаження на окремі заклепки. Але для спрощення розрахунків приймається, що всі заклепки однаково навантажені. Руйнування з’єднання можливе внаслідок перерізання заклепок по лінії стикання листів. Відповідно до (4.7) маємо таку умову міцності з’єднання „на зріз”:

, звідки (4.8)

де – зусилля, що приходиться на одну заклепку

(для рисунку 4.2 ; для рисунку 4.3 );

– площа поперечного перерізу заклепки діаметром ;

– кількість площин перерізу (для рисунку 4.2 ; для рисунку 4.3 );

– допустиме напруження на зріз.

Отвори в листах, що склепуються, мають діаметр на більше діаметра ще не поставленої заклепки. У розрахункові формули входить діаметр отвору, бо у виконаному з’єднанні заклепка практично повністю заповнює отвір.

У заклепочному з’єднанні крім зрізу можливо також порушення суцільності внаслідок зминання листів або заклепок у місцях їх контакту по циліндричній поверхні. Проекції площадок зминання на площину креслення зображені на рисунку 4.2 товстими лініями. Як правило, при розрахунках беруть умовну площину зминання .

Умова міцності щодо зминання

, звідки , (4.9)

де – менша товщина листа;

– допустиме напруження на зминання.

З двох діаметрів, визначених за формулами (4.8) і (4.9), обирають більше значення.

Користуючись формулою , розраховують також зварні з’єднання, які все більше витісняють заклепочні.

а)

б)

Фланговий шов

Лобовий шов

На рисунку 4.4 зображено з’єднання двох листів унапуск лобовими та фланговими швами. При розрахунках вважають, що руйнування як лобових, так і флангових зварних швів може бути внаслідок зрізу в площині, яка проходить через бісектрису прямого кута (рисунок 4.4 б).

 

 

 

Рисунок 4.4 – Зварне з’єднання двох листів унапуск

 

Таким чином, для одного флангового шва площа небезпечного перерізу , а для одного лобового шва – , де – катет шва; у випадку, представленому на рис.3.4 катет шва дорівнює товщині листа.

Умова міцності для зварного з’єднання (рисунок 4.4) має вигляд

. (4.10)

З цієї умови можна отримати допустиме значення сили або сумарної довжини зварних швів.

Геометричні характеристики плоских перерізів

Статичними моментами перерізу (фігури) (рисунок 5.1) відносно осей і називають інтеграли виду ; ; (5.1) …

Рисунок 6.2 – Розрахункова схема циліндричної гвинтової пружини

Аналіз свідчить, що напруження зсуву складають лише від напружень кручення і можуть при грубих розрахунках не враховуватися.

Більш точний результат дає формула, яка враховує кривизну витків за допомогою спеціального поправочного коефіцієнту ; тоді формулу для розрахунку пружини на міцність можна записати у вигляді

. (6.14)

При визначенні осідання пружини будемо враховувати тільки кручення витого прутка, бо інші види деформування вносять дуже малий вклад. Скористаємось енергетичним підходом, згідно з яким робота зовнішньої сили на осіданні переходить у потенційну енергію деформованої пружини, яка дорівнює роботі крутного моменту на куті закручення прутка (рисунок 6.3).

Рисунок 6.3

 

Запишемо потенційну енергію з урахуванням формули (6.8) для , величини крутного моменту , довжини прутка та формули (5.8) для :

. (6.15)

. (6.16)

Після підстановки виразів для і у (6.15) та деяких скорочень отримаємо остаточну розрахункову формулу для осідання пружини

. (6.17)

З (6.17) можливо підібрати такі параметри пружини, щоб отримати для заданого навантаження бажане осідання пружини.

7 Розрахунки на міцність при “згинанні”

Згин – це один з простих видів навантаження (деформування) бруса, при якому у його поперечному перерізі діє внутрішній згинальний момент ( ), внаслідок чого вісь бруса викривляється.

Брус, що працює на згин, називається балкою.

Згин може виникати під дією зовнішніх поперечних сил (зосереджених або розподілених по довжині бруса) та моментів пар сил (рисунок 7.1).

а)

б)

 

Рисунок 7.1 – Приклади розрахункових схем балок при згині

 

Розрізняють

· чистий згин ( , );

· поперечний згин ( , ).

Якщо площина дії згинального моменту (силова площина) проходить через одну з головних центральних осей поперечного перерізу бруса, згин називається плоским прямим. При цьому викривлена вісь бруса буде плоскою кривою, яка розташована в силовій площині.

Якщо навантаження не лежать в одній силовій площині, то і викривлена вісь бруса буде просторовою кривою. У такому разі маємо складний просторовий згин. Таку схему навантаження можна розглядати як суперпозицію двох плоских прямих згинів, для чого усі навантаження треба розкласти на складові по головних осях інерції перерізу.

Балки мають опори. Розрізняють три типа опор:

1 шарнірно-рухома (рисунок 7.2 а) накладає заборону тільки на переміщення вдовж зв’язку (або перпендикулярно опорній поверхні); єдина опорна реакція діє у цьому ж напрямку; опора допускає переміщення вдовж опорної поверхні та поворот балки відносно закріпленої точки (шарніра);

2 шарнірно-нерухома (рисунок 7.2 б) допускає тільки поворот балки; реакція цієї опори має дві складові та ;

або

або

а)

б)

в)

3 жорстке затиснення (рисунок 7.2 в) виключає можливість переміщень та повороту балки. Реакції затиснення – , та реактивний момент .

 

 

Рисунок 7.2 – Типи опор балок

 

Статично-визначенні балки мають число невідомих реакцій, яке дорівнює числу рівнянь рівноваги. Цій умові відповідають балки з однією шарнірно-рухомою і однією шарнірно-нерухомою опорами (рисунок 7.1 а), а також консольні балки (рисунок 7.1 б).

Розрахунки на міцність та жорсткість при згині починаються з того, що для заданої розрахункової схеми складають рівняння рівноваги та визначають опорні реакції.

Потім застосовують метод перерізів. Змінюючи поточну координату вдовж осі балки, аналізують закономірності, за якими змінюються внутрішні силові фактори – поперечна сила та згинальний момент , та будують їх епюри – графіки та .

З рівнянь рівноваги будь-якої частини балки, відокремленої уявним перерізом витікають наступні практичні правила підрахунку та .

Внутрішня поперечна сила чисельно дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх сил, що діють на відокремлену частину балки.

a)

б)

Внутрішній згинальний момент чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моментів від навантажень, прикладених до відокремленої частини балки, відносно головної центральної осі перерізу.

 

 

Рисунок 7.3 – Правила знаків для і

 

Правило знаків для : при підсумовуванні сила враховується як додатна, якщо вона намагається повернути відокремлену частину балки відносно перерізу за стрілкою годинника (рисунок 7.3 а).

Правило знаків для : момент враховується як додатний від тих навантажень, які згинають балку опуклістю вниз (рисунок 7.3 б).

Важливу роль у теорії згинання мають диференційні залежності між згинальним моментом поперечною силою і розподіленим навантаженням, які були встановлені професором Журавським.

(7.1)

(7.2)

Отримані диференціальні залежності використовуються для контролю правильності побудови епюр.

Переходимо до визначення нормальних напружень при чистому згинанні. Для їх визначення використовують такі залежності:

, (7.3)

де – радіус кривизни нейтрального шару,

– відстань від нейтрального шару.

, (7.4)

де добуток – жорсткість при згинанні.

Таким чином, нормальні напруження при згинанні

тобто вони змінюються пропорційно відстані від нейтрального слою. Максимальні значення нормальні напруження будуть мати при максимальній… . (7.6)

Елементи теорії напруженого та деформованого стану у точці

Та основні теорії міцності

Оберемо довільну ортогональну систему координат і запишемо напру­ження, які діють у досліджуваній точці деталі на малих координат­них площадках… (8.1) Математичний об’єкт (8.1) називають тензором напружень .

Наведені вище математичні залежності використовуються в уточнених розрахунках на міцність деталей при складному опорі. Разом з тим в інженерній практиці досить широке розповсюдження отримали розрахунки на міцність з використанням відповідних теорій міцності.

В багатьох елементах конструкцій, які мають складну геометричну форму або піддаються складному навантаженню, аналіз виявляє складний (2- або 3-вісний) напружений стан (НС) у певних точках цих конструкцій. У таких випадках виникають дві пов’язані проблеми:

а)

б)

По-перше, за якою мірою (критерієм) порівнювати напружені стани? Наприклад, який НС, серед наведених на рисунку 8.3, найбільш небезпечний?

 

 

Рисунок 8.3

По-друге, як при зростанні навантаження прогнозувати граничний напружений стан, наприклад, початок пластичного деформування або початок крихкого руйнування? Це проблема оцінки коефіцієнта запасу при складному НС.

Легко звести ці дві проблеми до однієї за допомогою поняття про
еквівалентне напруження:

– це таке напруження простого розтягу, яке за обраним

критерієм є рівнонебезпечним даному складному напруженому стану.

Маючи правило підрахунку , з двох складних НС будемо вважати більш небезпечним той, для якого більша величина , а граничним будемо вважати такий НС, для якого або . Умова міцності запишеться у виді .

Розглянемо лише кілька найбільш розповсюджених у практиці інженерних розрахунків критеріїв, за допомогою яких вирішуються поставлені проблеми.

Критерій максимальних дотичних напружень (Треска – Сен-Венана)

(ІІІ-й за історичною нумерацією у підручниках і довідниках)

Згідно з цим критерієм вважають: Граничний стан настає тоді, коли максимальні дотичні напруження (8.5) сягають характерного для даного матеріалу значення . Відповідно, більш небезпечною буде та точка деталі, де найбільше значення має .

Якщо застосувати формулу (8.5) для заданого складного НС та еквівалентного йому за величиною простого розтягу, то отримаємо таку формулу для еквівалентного напруження:

(8.9)

Застосуємо цей критерій для НС на рисунку 8.3 а. Такий тип двохвісного НС часто зустрічається в задачах на сумісну дію згину та кручення. Головні напруження знаходяться з «вікового» рівняння (8.4). Після їх підстановки у (8.9) отримаємо

(8.10)

У прикладі на рисунку 8.3 підрахунки дають ; , тобто перший НС більш небезпечний.

Критерій питомої потенційної енергії формозміни (Губера – Мізеса)

(ІV-й за історичною нумерацією у підручниках і довідниках)

Пояснимо деякі слова у назві критерію. „Питома” енергія означає, що енергія розраховується на одиницю об’єму. Потенційна енергія, накопичена у деформованій деталі, умовно розбивається на дві частини: одна пов’язана зі зміною об’єму, інша – тільки зі зміною форми. Енергія зміни об’єму виключається з розгляду, а за критерій береться лише питома потенційна енергія формозміни .

Згідно з IV критерієм вважають: Граничний стан настає тоді, коли питома потенційна енергія формозміни сягає характерного для даного матеріалу значення . Відповідно, більш небезпечною буде та точка деталі, де найбільше значення має .

Еквівалентне напруження за цим критерієм визначається формулою

. (8.11)

Застосуємо цей критерій для НС на рисунку 8.3 а. Знайшовши головні напруження з „вікового” рівняння (8.4), отримаємо після їх підстановки у (8.11) та значних спрощень

. (8.12)

У прикладі на рисунку 8.3 підрахунки дають

; ,

тобто і за цим критерієм перший НС більш небезпечний.

Відмітимо, що ІІІ і ІV критерії дають близькі результати, різниця не перевищує . Обидва критерії непогано підтверджуються випробуваннями для матеріалів, які однаково опираються розтягу і стиску. Появу у матеріалі малих пластичних деформацій ІV критерій визначає більш точно ніж ІІІ.

Для крихких матеріалів, для яких границя міцності на розтяг зазвичай набагато менша, ніж на стиск , ІІІ і ІV критерії непридатні.

Критерій Мора (феноменологічний підхід)

В інженерній практиці широкого розповсюдження набув критерій Мора, який будується на експериментальних даних без будь якої фізичної гіпотези. Слово „феноменологічний” саме і означає, що не наводиться фізичного тлумачення запропонованої формули, аби вона підтверджувалася випробуваннями. Згідно з цим критерієм умова міцності має вид

, (8.13)

де і – відповідно граничне і допустиме напруження на розтяг;

– граничне напруження на стиск.

Розрахунок на стійкість

При осьовому стисканні короткого стержня міцність його характеризується значенням максимальних напружень стискання. Стискання стержня, що має значну… Розглянемо шарнірно-опертий стержень, що стискається силою (рисунок 9.1).… …

Розрахунки на витривалість

Фундаментальними дослідженнями проблем міцності доведено, що при змінних напруженнях в матеріалі деталі виникають мікротріщини, котрі поступово… Час однократної зміни напружень називається періодом. Циклом напружень називається сукупність всіх значень напружень на протязі одного періоду.

Приклади розв’язання інженерних задач з розрахунків на міцність

У техніці широкого розповсюдження набули оболонки, навантажені зовнішнім або внутрішнім тиском. До них відносяться котли, нафтобаки, та інші… , (11.1) де

Список літератури

1 Прикладная механика / Под ред. К.И. Заблонского. – К.: Вища школа, 1984. – 280 с.

2 Писаренко Г.С., Квітка О.Л., Уманський Е.С. Опір матеріалів: Підручник. – К.: Вища школа, 1993. – 665 с.

3 Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1986. – 512 с.