Розрахунок на стійкість

 

При осьовому стисканні короткого стержня міцність його характеризується значенням максимальних напружень стискання. Стискання стержня, що має значну довжину, може супроводжуватися викривленням продольної осі, в результаті чого виникають додаткові напруження від згинання. Тому розрахунок таких стержнів виконується з умов міцності та стійкості.

Розглянемо шарнірно-опертий стержень, що стискається силою (рисунок 9.1). Поки сила незначна ось стержня зберігає початкову прямолінійну форму. Якщо цей стержень відхилити вбік на незначну величину, а потім силу, що визиває відхилення прибрати, стержень знову повернеться до свого початкового прямолінійного положення. Такий стан рівноваги прийнято називати стійким.

Рисунок 9.1

Але при збільшені сили наступить момент коли стержень не випрямиться. Найменше навантаження при котрому початкова форма рівноваги перестає бути стійкою, називається критичним.

В історії техніки було чимало випадків руйнування важливих інженерних споруд в наслідок втрати стійкості (в основному залізничних мостів).

Задачу визначення критичної сили уперше розв’язав відомий вчений академік Леонард Ейлер шляхом вирішення диференційного рівняння викривленої продольної осі

; (9.1) , (9.2)

де – найменший з осьових моментів інерції перерізу, оскільки викривлення стержня відбувається у площині найменшої жорсткості,

– довжина стержня.

Значення критичної сили залежить від способу закріплення його кінців. Пояснимо це на прикладі стержня з одним жорстко закріпленим, а другим вільним кінцями, навантаженим силою (рисунок 9.2).

Рисунок 9.2

Порівняючи схеми деформацій стержнів на рисунках 9.1, 9.2 можливо спостерігати, що викривлена ось стержня затисненого одним кінцем находиться в тих же умовах, що і стержня з шарнірно-опертими кінцями, але при подвійній довжині. Тому в загальному випадку для визначення критичної сили замість вводиться зведена довжина

, (9.3)

де – коефіцієнт зведеної довжини, що залежить від способів кріплення кінців стержня: для шарнірного закріплення ; один кінець закріплений, другий вільний ; обидва кінця закріплені ; один кінець закріплений, другий закріплений шарнірно .

Якщо поділити значення критичної сили на площину отримаємо критичне напруження

, (9.4)

де – мінімальний радіус інерції;

– гнучкість стержня.

Формула Ейлера справедлива для того випадку, коли критичні напруження не перевищують границі пропорційності .

Цій умові відповідає критичне значення гнучкості

; (9.5)

для ст. 3

 

У тих випадках коли користування формулою Ейлера неможливе і користуються емпіричною формулою Ясинського

, (9.6)

де і – коефіцієнти, що залежать від матеріалу. Для ст. 3 при гнучкостях , , .

При гнучкостях стержні настільки короткі, що практично руйнуються внаслідок втрати міцності. Тому для таких стержні за критичне напруження приймають границю текучості .

Надійність роботи зтисненого стержня забезпечена, якщо будуть забезпечені умови міцності , та стійкості . Відношення – коефіцієнт зменшення допустимого напруження на міцність при розрахунку на стійкість. Він залежить від матеріалу та гнучкості стержня і його значення наведені у таблицях. Таким чином формула для розрахунку на стійкість має вигляд

 

, (9.7)

 

звідки

. (9.8)

Розрахунки по цій формулі проводяться методом послідовних наближень.