Основы проективной геометрии

Основы проективной геометрии

Классификация проекций

Проекции преобразуют точки из системы координат размерностью n, в точки системы координат размерностью n-1. Проекция строится при помощи прямых проецирующих лучей, называемых проекторами, которые выходят из центра проекции, проходят через каждую точку объекта и на проекционной плоскости образуют проекцию.

Проекции подразделяются на два основных класса: центральные (перспективные) и параллельные. Эти проекции различаются соотношением между центром проекции и проекционной плоскостью. Если это расстояние конечно, то проекция - центральная, если бесконечно, то проекция параллельная. Для центральной проекции явно задается центр проекции, а для параллельной проекции задается только направление проецирования.

Центральная проекция порождает визуальный эффект, аналогичный эффекту фотосистем или зрительной системы человека, и поэтому используется, в основном, художниками и архитекторами для изображения общих планов с максимальной степенью реалистичности. Параллельная проекция порождает менее реалистичное изображение, но фиксирует истинные размеры и, как правило, применяется в технических чертежах.

Рассмотрим классификацию проекций.

Классификация проекций

Проекции

Параллельные

Центральные

Аксонометрические

Косоугольные

Однофокусные Двухфокусные Трёхфокусные

Ортогональные Изометрия Диметрия Триметрия

Свободные Кабинетные

Аксонометрические проекции. Аксонометрической называется проекция, у которой проекторы перпендикулярны плоскости проекции, иначе имеем косоугольную проекцию.

Среди аксонометрических проекций различают:

· ортогональную проекцию, когда проекционная плоскость перпендикулярна главным координатным осям;

· изометрию, когда в плоскости проекции три оси одинаково сокращены;

· диметрию, когда в плоскости проекции две оси одинаково сокращены;

· триметрию, когда в плоскости проекции разное сокращение по всем осям.

Ортогональные проекции. Рассмотрим часто употребляемое в техническом черчении ортогональное проецирование, которое слагается из фронтальных, профильных и горизонтальных проекций. Для этого рассмотрим сначала проекции в плоскостях X=0, Y=0, Z=0. Преобразование проецирования в соответствующую нулевую плоскость всегда содержит нулевой столбец, соответствующий плоскости проекции. Поэтому матрицы преобразования проецирования будут иметь вид

Матрицы преобразования проецирования в плоскостях X=0, Y=0, Z=0:

Естественная видовая плоскость экрана ХУ с Z=0, поэтому рассмотрим различные виды ортогональных проекций на плоскость Z=0. Для того, чтобы получить необходимый вид проекции, необходимо:

1. Выполнить вращение объекта вокруг оси Х или У до тех пор, пока требуемый вид объекта примет фронтальный вид.

2. Выполнить проецирование из бесконечности на плоскость Z=0.

Тогда алгоритмы ортогонального проецирования запишутся как:

М(Ф_п) = M(R(Х, 0)) ´ M(z=0) - (фронтальная проекция, вид спереди);

М(Ф_з)=M(R(Х,180)) ´ M(z=0) - (фронтальная проекция, вид с тыла);

М(Г_в) = М R(Х, 90)) ´ M(z=0) - (горизонтальная проекция, вид сверху);

М(Г_н) = М(R(Х, -90)) ´ M(z=0) - (горизонтальная проекция, вид снизу);

М(П_л) = М(R(Y, 90)) ´ M(z=0) - (профильная проекция, вид слева);

М(П_п) = М(R(Y, -90)) ´ M(z=0) - (профильная проекция, вид справа).

Подставляя в матрицы M(R(X,Q))и M(R(Y,Q))значения Q соответствующих видовых преобразований получим

Эти матрицы составляют программное обеспечение ортогонального проецирования и после выполнения умножения матрицы описания объекта на соответствующую матрицу видового преобразования, получаем нужную проекцию, т.е. Р*=РМ(вида).

Рассмотрим примеры вычисления ортогональных проекций для равнобедренной усечённой пирамиды (рис. 1, лекция 1) с учётом ОК.

Исходная матрица	Матрица преобразования	Преобразованная матрица Р^*	Нормализованная матрица Р^*
´	= Профильная проекция вид слева
= Горизонтальная проекция вид сверху

Изометрия, диметрия и триметрия. Ортогональное проецирование позволяет “увидеть” каждую грань объекта в отдельности. Для того чтобы “увидеть” сразу несколько граней, применяют диметрическое и изометрическое проецирование. Изометрия, диметрия получаются комбинацией поворотов, за которыми следует проекция из бесконечности. Если нужно описать проекцию на плоскость z=0, то сначала необходимо осуществить преобразование поворота на угол b относительно оси Y, затем на угол a относительно оси Х. Тогда общее уравнение получения диметрии или изометрии на пдоскость Z=0, имеет вид

M(Дим или Из = М(R(Y, b)) М(R(X, a)) M(Z=0)

После выполнения умножения получаем

Для диметрии ось z сокращается в 2 раза. Тогда угол a =20,7⁰, а b =22,2⁰.

Для изометрии a=35,26⁰; b=45⁰.Тогда после вычисления тригонометрических функций матрица преобразования для изометрии запишется в виде

Пример вычисления диметрии и изометрии на плоскость Z=0 для единичного куба.

Р =

Пример диметрической и изометрической проекций

Косоугольные проекции. В косоугольных проекциях проектирующие прямые образуют с плоскостью проекции угол отличный от 90⁰. Поэтому появляются составляющие косоугольной проекции единичного вектора Z на плоскость XY. Тогда единичный вектор оси Z || 0 0 1 1 || преобразуется в вектор

|| P_x P_y 0 1 ||а матрица такого преобразования с проекцией на плоскость Z=0 будет иметь вид

Различные типы косоугольных проекций характеризуются величиной угла между проекторами и плоскостью проекции. При этом выделяют:

1. Свободную проекцию, когда этот угол равен 45⁰.

2. Кабинетную проекцию, которая является частным случаем свободной проекции, когда масштаб по третьей оси уменьшен в два раза.

Поэтому для свободной проекции Р_х=cos45⁰ и P_y=sin45⁰, а для кабинетной проекции P_x=1/2 cos45⁰, а P_y=1/2sin45⁰.

Перспективные преобразования и проекции. Перспективному преобразованию может предшествовать последовательность аффинных преобразований. Аффинное преобразование – геометрическое преобразование плоскости или пространства, которое можно получить, комбинируя движения, зеркальные отображения и масштабирования в направлениях координатных осей.

Таким образом, чтобы получить перспективные изображения из произвольной точки наблюдения, вначале используют аффинные преобразования, позволяющие сформировать систему координат с осью z вдоль желаемой линии визирования. Затем применяют перспективное преобразование, а проекционное преобразование используют для того, чтобы спроецировать общее положение точек на плоскость наблюдения z=0 в текущей системе координат.

Перспективные проекции на плоскость Z=0 получаются из следующего общего матричного уравнения:

P*= P M(Перспек.), где М(Перспек.) =

Разные виды перспективных проекций получаются за счёт переменных p,q,r.

Значения	Вид проекции
(p,q,r)≠0	трёхточечная проекция с сходом на осях X,Y,Z
(q,r)=0	одноточечная проекция с сходом на оси X
(p,r)=0	одноточечная проекция с сходом на оси Y
(p,q)=0	одноточечная проекция с сходом на оси Z
r =0	двухточечная проекция с точками схода на X,Y
q =0	двухточечная проекция с точками схода на X,Z
p =0	двухточечная проекция с точками схода на Y,Z

Конкретными значениями p, q, r являются величины обратно пропорциональные соответствующим фокусным расстояниям.

Примеры решения типовых задач

Примеры построения перспективных проекций

Пример 1.Вычислить перспективные проекции с фокусным расстоянием равным 10 для единичного куба. (см. пример диметрии и изометрии)

1. С одной точкой схода на оси Z

2. С двумя точками схода на осях X и Y

3. С тремя точками схода

Решение. С одной точкой схода на оси Z

С одной точкой схода на оси Z

Решение. С двумя точками схода на осях X и Y

Решение.С тремя точками схода