Анализ устойчивости системы по расположению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости

 

Итак, характер изменения импульсно – переходной характеристики системы (и её производных) зависит от вида корней характеристического уравнения системы. Это продемонстрировано на примере изучения импульсно – переходной характеристики колебательного звена (см. 2.12). Наглядное

Рис. 17. Расположение корней асимптотически устойчивой системы

представление о характере корней характеристического уравнения и их влияния на вид функции g = g(t) даёт их расположение на комплексной плоскости. Будут рассматриваться только некратные корни поскольку в дальнейшем будет необходимо обеспечивать условия, при которых система устойчива с некотором запасом.

Итак, возможны следующие наиболее существенные варианты решения характеристического уравнения.

1.

Рис. 18. Расположение корней неустойчивой системы

Все корниs_i < 0, i = 1, 2, …, n, вещественные и отрицательные(рис. 17), следовательно, все суммируемые экспоненты импульсной переходной характеристики g = g(t) – убывающие функции времени и их сумма в пределе равна нулю .