Анализ системы стараются проводить на основе изучения ЛАХ. Однако, во всех случаях, вызывающих какие-либо сомнения (например, когда фазочастотная характеристика несколько раз пересекает уровень j(w) = – p), необходимо об устойчивости системы судить по виду амплитудно - фазовой характеристики (АФХ) в разомкнутом состоянии.
На рис. 24 представлен достаточно типичный пример логарифмических частотных характеристик (ЛАХ).
| Рис. 24. ЛАХ системы в разомкнутом состоянии. |
Полученные характеристики позволяют определить:
a) Характерные частотысистемы: частоту среза wср и критическую частоту wкр согласно выражениям:
A(wср) = 1, L(wср) = 20×lgA(wср) = 0, j(wкр) = -p. (5.5)
Таким образом, частота среза – это частота, на которой кривая L(w) пересекает ось ω. Критическая частота – частота, на которой фазовая характеристика j (w) равна –180°.
Для рассматриваемого на рис. 24 примера wср @ 103 1/с, wкр @ 2×103 1/с.
В большинстве случаев условие wср< wкр означает, что в соответствии с критерием Найквиста рассматриваемая система устойчива (в общем случае заключение об устойчивости следует проводить на основе анализа АФХ системы в разомкнутом состоянии);
b). Запасы устойчивости по амплитуде и фазе определяются соотношениями:
DL =½L(wср)ï – ï L(wкр)½=½L(wкр)½; Dj = p – ½j(wср)½ (5.6)
В рассматриваемом на рис. 24 примере DL @ 14 дБ, Dj @ 20° (обычно по техническим условиям желательно иметь DL ³ 12 дБ, Dj ³ 30° – 40°);
c). Переходный процесс имеет апериодический или слабоколебательный характер, если частота среза wср попадает на участок логарифмической амплитудно – частотной характеристики с наклоном – 20 дБ/дек. Необходимая протяженность этого участка будет определена ниже.
Переходный процесс в изучаемой системе обладает колебательными свойствами, поскольку частота среза wср находится на участке логарифмической амплитудно-частотной характеристики с наклоном – 40 дБ/дек.
d). Быстродействие двух однотипных систем (например, два варианта одной системы) можно оценить по частоте среза, поскольку wср определяет полосу пропускания системы. Чем шире полоса пропускания, тем выше быстродействие.
e). Для сильно колебательных систем частота среза wср близка к частоте колебаний переходного процесса и, следовательно, период колебанияпереходной характеристики можно приближенно оценить следующим образом: Tкол @ .
Если по величине показателя колебательности M задаться числом колебаний r за время переходного процесса (см. таблицу 4), то можно определить длительность переходного процесса tп » r×Tкол.
5.2.3. Показатели качества, определяемые по виду амплитудно – фазовой характеристики системы в разомкнутом состоянии (АФХ)
Как уже отмечалось, анализ системы стараются проводить на основе изучения ЛАХ. Но во всех случаях, вызывающих какие-либо сомнения необходимо использовать амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) в разомкнутом состоянии.
Представляет большие трудности построение АФХ по аналитически полученным формулам. Учитывая, что для анализа качества системы большой точности не требуется, можно АФХ строить графически на основе имеющихся графиков ЛАХ. Действительно, для каждого значения частоты w по графикам ЛАХ можно определить значение амплитуды А(w) (L(w) = 20×lgA(w)) и фазы j(w) и, используя полярную систему координат, построить точку на комплексной плоскости, принадлежащую АФХ. Ниже при рассмотрении конкретного примера будет продемонстрирована подобная методика построения АФХ.
Показатель колебательности M определяется по виду амплитудно – частотной характеристики Aз(ω) (см. рис. 23). Задавшись некоторым значением показателя M, на графике этой характеристики проводят прямую, параллельную оси частот. Эта прямая представляет собой линию постоянного уровня показателя колебательности M нарассматриваемой характеристике.
| Рис. 25. АФХ системы в разомкнутом состоянии. |
Доказывается, что геометрическое место точек, представляющее указанную линию постоянного уровня на амплитудно – частотной характеристике Aз(ω) (см. рис. 23), переносится на комплексную плоскость с изображением АФХ и представлет собой окружность с центром в точке (–С, 0). Если М > 1, то С = , а радиус окружности R = . Концы диаметра этой окружности находятся в точках
и .
Задаваясь рядом значений М, строят окружности, из которых образуется семейство линий постоянного уровняпоказателя колебательности М на комплексной плоскостис изображением АФХ. Если окружность постоянного уровня пересекает график АФХ, это означает, что соответствующее ей значение М меньше показателя колебательности для рассматриваемой системы. Для определения этого показателя колебательности требуется найти такое значение М, при котором соответствующая окружность касается графика АФХ (окружности вложены друг в друга, т.е. окружности с меньшим значением М целиком находятся внутри окружности с большим его значением).
На рис. 25 изображены линии постоянного уровня, которым соответствуют значения М, равные 1,5; 2; 2,5. Для рассматриваемой системы показатель колебательности М = 2.54, т.е. систему следует отнести к разряду сильно колебательных (таблица 4).
Таким образом, построений на комплексной плоскости вполне достаточно, чтобы хотя бы приближенно определить величину М, но для большей наглядности можно построить график Аз = Аз(w).
Анализ АФХ позволяет сделать следующие выводы:
а). Если системаустойчива в разомкнутом состоянии то в соответствии с критерием Найквиста замкнутая система устойчива, если АФХ не охватывает точку ( - 1, 0) на комплексной плоскости(нулевые корни si = 0, соответствующие интегрирующим звеньям, считаются условно устойчивыми.
В тех случаях, когда передаточная функция системы в разомкнутом состоянии содержит интегрирующие звенья, АФХ дополняется дугой бесконечно большого радиуса, поворачивающую против часовой стрелки низкочастотную часть рассматриваемой характеристики на угол, равный девяносто градусам помноженный на число интегрирующих звеньев (рис. 25).
b). Характерные частоты wср и wкр и запасы устойчивости DA и Dj могут быть определены и по АФХ и, естественно, их значения должны совпадать с полученными ранее с использованием ЛАХ.
c). Колебательность системы оценивается по величине показателя колебательности M.