Построение логарифмических частотных характеристик (ЛАХ)
Передаточная функция (7.6) представляется набором типовых звеньев (двух интегрирующих, инерционного и форсирующего):
.
На одном графике в масштабе изображаются графики логарифмических частотных характеристик указанных типовых звеньев. Полученные кривые графически суммируются, образуя ЛАХ системы в разомкнутом состоянии (графики L(ω) и ϕ(ω) точно один под другим, (см. рис. 34)).
Показатели качества,найденные по этим характеристикам:
ωср = 3,200 с-1, ωкр = с-1, ∆L(ω) = , ∆ϕ(ω) = 30°. (7.8)
Запретная зона по точности, изображенная на рис. 34, для рассматриваемой системы второго порядка астатизма подобна той, что представлена на рис. 31 с). Параметры контрольной точки рассчитываются в соответствии с требованиями по точности (7.4).
.
| Рис. 34. Логарифмические частотные характеристики рассматриваемого примера |
| ωср |
| В |
| В |
| А |
| А |
| С |
20lg = 20lg = 9,5 дБ, 20lg = 20lg = – 4,4 дБ
и по графику логарифмической амплитудно - частотной характеристики L = =L(w) определяются значения частот ωa и ωb, позволяющих определить положение точек A и B на фазовой характеристике. Вычисляется значение угла ∆γ = arcsin(1/Mд) = arcsin(1/1,5) = 41,8°. На графике фазо – частотной характеристики изображается дуга ACB, определяющая запретную зону по колебательности.
Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие заключения:
а) Характеристическое уравнение передаточной функции (5.9) имеет два нулевых и один устойчивый корень. Нулевые корни считаются условно устойчивыми. Следовательно, исходная система в разомкнутом состоянии устойчивая. Поэтому, поскольку выполняются условие, ωср < ωкр (ωср = 3,200 с-1, ωкр = ), то исходная система (в замкнутом состоянии) устойчива;
б) Запас устойчивости по амплитуде (∆L(ω) = ∞) достаточный, а по фазе (∆ϕ(ω) = 27◦) – несколько меньше допустимого;
в) наклон логарифмической амплитудно - частотной характеристики ∆L(ω) в районе частоты среза ωср равен – 40 дБ/дек, что указывает на колебательный характер переходного процесса рассматриваемой системы;
г) логарифмическая амплитудно - частотная характеристика пересекает запретную зону по точности, что свидетельствует о невыполнении технического условия точности по ускорению регулярного входного воздействия (см. рис. 34).
7.4.1.2. Построение амплитудно – фазовой характеристики (АФХ)
В большинстве случаев информации, полученной на основе анализа ЛАХ, бывает достаточно. Но иногда необходимо привлечение еще и данных, полученных в результате исследования амплитудно – фазовой характеристики (АФХ) системы в разомкнутом состоянии. В рассматриваемом примере вызывает сомнение определение значения критической частоты ωкр, признанного ранее равным бесконечности. Но фазовая характеристика φ(ω) достигает уровня -180° еще и при . Разрешить эту проблему можно только с помощью АФХ.
Для построения приближенной характеристики АФХ используются построенные ранее графики логарифмических частотных характеристик (рис. 34). При этом для определения полярных координат комплексного коэффициента передачи K(jω) удобно заполнить таблицу (см. табл.5).
Таблица 5 Таблица 6
| A(ω) | L(ω) дБ | ω 1/с | ϕ(ω) гр. | ||||
| –160 | 3,0 | 1,5 | 0,75 | ||||
| –150 | 2,5 | 1,6 | 0,71 | ||||
| –140 | 2,0 | 2,0 | 0,67 | ||||
| 0,5 | –6 | –175 | 1,5 | 3,0 | 0,60 | ||
| 0,2 | –14 | –180 | 1,2 | 6,0 | 0,55 |
По заданным значениям амплитуды A(ω) вычисляются величины L(ω) = 20lg(A(ω)). На графике рис. 34 проводится горизонтальная прямая до пересечения с ломаной кривой L = L(ω). Из полученной точки пересечения опускается вертикаль, позволяющая определить значения ω и ϕ(ω).
Полярные координаты A(ω) и ϕ(ω) определяют точку на комплексной плоскости амплитудно - фазовой характеристики. Около нее подписывается найденное ранее значение частоты ω. Через ряд полученных точек проводится кривая АФХ (см. рис. 35). Характеристика дополняется дугой бесконечного радиуса, поворачивающей видимую её часть против часовой стрелки на угол, равный 180° (передаточная функция W(s) содержит два интегрирующих звена). Поскольку график АФХ не пересекает отрицательной части вещественной оси, это означает, что частота ω = 0 не может быть критической частотой. Так как на больших частотах функция асимптотически приближается к значению, равному -180°, то, критическая частота равна ωкр = ,
 -1
|
| Re |
| Jm |
| ω=0 |
| ωкр= |
| В |
| А |
| Рис. 35. АФХ рассматриваемого примера |
| Mд = 1,5 |
| -1, 0 |
Область внутри окружности уровня Mд = 1,5 является запретной зоной по колебательности. График АФХ пересекает запретную зону по колебательности,то есть M > 1,5. следовательно, показатель колебательности рассматриваемой системы больше допустимого по техническим условиям значения. Частота ωm близка к частоте среза ωср.
Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие заключения:
1. Изучаемая система в разомкнутом состоянии устойчива (два нулевых корня характеристического уравнения системы в разомкнутом состоянии считаются условно устойчивыми, третий корень – вещественный и отрицательный). АФХ системы в разомкнутом состоянии не охватывает точку с координатами (–1; 0), см. рис. 3. Следовательно, в соответствии с критерием Найквиста изучаемая система в замкнутом состоянии устойчива.
2. Из положения, приведенного в предыдущем пункте, вытекает неравенство ωср < ωкр (ωср = 3,200 с-1, ωкр = с-1,), и это еще один признак того, что исходная система устойчива.
3. График АФХ пересекает запретную зону по колебательности. Следовательно, показатель колебательности исходной системы больше допустимого по техническому заданию значения Mд = 1,5,то есть M > Mд.