Импульсная переходная характеристика

 

Импульсная переходная характеристика определяется в результате применения обратного преобразования Лапласа

.

Для того чтобы воспользоваться таблицами преобразования Лапласа (см. прил. 1), передаточную функцию (2.9) необходимо преобразовать.

В одной из строк таблицы имеем

.

Следовательно, передаточную функцию (2.9) или функцию G(s) необходимо представить в виде

,

или, используя формулы для определения параметров α и β в выражении (2.10)

.

Таким образом,

. (2.11)

 

2.6.2. Переходная характеристика (k = 1)

 

Вывод формулы для переходной характеристики будет продемонстрирован с применением классического метода. В соответствии с передаточной функцией (2.9) дифференциальное уравнение для переходной характеристики при (k = 1, ) имеет вид

, t > +0. (2.12)

Общее решение неоднородного уравнения (26) представляется суммой общего решение однородного уравнения (учитывая комплексно – сопряженные корни (2.10)), характеризующего переходной процесс h_пер(t), и частного решения, определяемого выражением в правой части уравнения и характеризующего процесс в установившемся режиме h_уст(t). Таким образом

+ h_уст(t). (2.13)

Для определения h_уст(t) и постоянных интегрирования A и ψ можно воспользоваться теоремами о конечном и начальном значениях преобразования Лапласа, учитывая формулы (1.6).

.

, (2.14)

 

Дифференцируя выражение (2.13) и, используя полученные в (2.14) значения, определяются формулы для постоянных интегрирования

,

Рис. 11. Семейство переходных характеристик колебательного звена

0.005

0.01

0.015

t

На рис. 11 представлено семейство кривых для демонстрации влияния коэффициента демпфирования ξ на вид переходных характеристик колебательного звена. А на рис. 12 приведены графические изображения временных характеристик.

 

h(t)

t

T

g(t)

Рис. 12. Временные характеристики колебательного звена.

Анализ этих графиков позволяет сделать следующие выводы (обоснование их будет приведено ниже при изучении показателей качества САУ).

1. Колебательность звена в первую очередь зависит от коэффициента демпфирования ξ. Чем он меньше, тем в большей степени звено обладает колебательными свойствами;

2. Звено устойчиво, поскольку вещественная часть корней характеристического уравнения (2.39) отрицательна;

3. Коэффициент α – вещественная часть комплексно – сопряженных корней (2.39), определяет быстродействие (время переходного процесса );

4. Коэффициент β – мнимая часть комплексно – сопряженных корней (2.10), является частотой колебаний временных характеристик (см., например, (2.13)). Период колебаний ;

5. Момент времени первого максимума переходной характеристики равен половине периода колебаний t₁ = T_кол/2.