Теплоотдачи

 

Такой, как на рисунке 2.2? Достигнет ли вода точки кипения в условиях нашей задачи?

Если бы наша банка с водой была идеально изолирована от всего остального пространства, если бы тепло от этого тела не отводилось, то температура повышалась бы пропорционально времени, как на рис. 2.2, и уравнение

(2-1) описывало бы нагрев воды правильно до того момента времени, пока вода не перешла бы в другое агрегатное состояние (закипела).

На самом же деле при мощности кипятильника, например, 300 Вт, вода в ведре не закипит никогда, не закипит она даже в пятилитровой банке. Почему?

Сосуд с водой находится в атмосфере, а воздух – физическое тело. Вода будет иметь все более отличающуюся от воздуха температуру, и по закону природы тепло от более нагретого тела будет естественным путем передаваться к телу менее нагретому - воздуху. Таким образом, воздух будет участвовать в этом процессе в качестве охлаждающей среды.

Для описания процесса передачи тепла от более нагретого тела к телу, менее нагретому, в физике существует такое понятие, как коэффициент теплоотдачи А.Он численно равен энергии, отдаваемой менее нагретому телу (охлаждающей среде) за 1 секунду при повышении разности температур на 1 градус Цельсия.

[А] =Дж/(градсек) =Вт/град.

Итак, тело участвует в двух процессах - нагревается и отдает тепло в охлаждающую среду, причем второй процесс идет тем интенсивнее, чем больше разность температур. Можно предположить, что через какое-то время процесс нагрева тела достигнет такой стадии, когда вся поступаемая от источника тепловая энергия будет передаваться в охлаждающую среду.

 

 

В этом случае процесс нагрева тела закончится. Разность

температур больше изменяться не будет ("установится") и будет называться установившейся разностью температур или установившимся перегревом.

Уравнение теплового баланса в этом случае примет вид

Р = А J_у,(2-2)

где J_у - установившаяся разность температур воды и воздуха или установившийся перегрев воды над воздухом.

 

В дальнейшем буквой J условимсяобозначатьименно перегрев тела над охлаждающей средой.

Рассмотрим следующую ситуацию. Если бы тело имело абсолютную теплоизоляцию, то установившийся перегрев J_убыл бы достигнут за какое-то время Т.На основании уравнения (2-1)энергия, поступившая в тело, полностью пошла на нагрев этого тела

Р Т = C J_у(2-3)

Но с другой стороны из (2-2)

J_у = Р/А(2-4)

Подставляя (2-4) в (2-3) и сокращая Р, получим

Т = C/А = с_оm /А.(2-5)

Получили какой-то временной показатель, зависящий от характеристик данного тела - материала (с_o), массы m, площади поверхности (коэффициент теплоотдачи А), но не зависящий ни от мощности нагрева, ни от температуры. Это соотношение теплоемкости и теплоотдачи называют постоянной времени нагрева тела Т.

Отметим, что эта величина постоянна только для данного тела и для другого нагреваемого тела будет иметь свое значение, отличное от других, причем более массивные тела будут иметь и бо′льшие значения этой постоянной.

 

 

Запишем уравнение теплового баланса для элемента

времени dt. Поступившая за этот элемент времени энергия Р dtбудет частично расходоваться на нагревание тела, а частично – передаваться в охлаждающую среду.

Р dt = C dJ + А J dt,(2-6)

где J- разность температуры тела и температуры охлаж-дающей среды, то есть перегрев тела над охлаждающей средой.

Перепишем (2-6) следующим образом

dt(Р - А J) = C dJ.(2-7)

Разделим выражение (2-7) на А

dt(Р/А - J) = С/А dJ(2-8)

и перепишем его с учётом (2-5) и (2-4)

dt (J_у - J) = Т dJ(2-9)

Разделим выражение (2-9) на (J_у - J).

dt = Т dJ/(J_у - J)(2-10)

Интеграл от обеих частей этого уравнения

t = -Т Ln(J_у - J) + В.(2-11)

Постоянную В определим из следующего условия. В начальный момент времени t=0перегрев тела над охлажда-ющей средой имел какое-то начальное значение J_н. Тогда

0 = -Т Ln(J_у - J_н) + В

или

В = Т Ln(J_у - J_н)(2-12)

Подставляя (2-12) в (2-11) получим

dt = -Т Ln(J_у - J) + Т Ln(J_у - J_н).(2-13)

Разделим выражение (2-13) на (-Т).

-t/Т = Ln(J_у - J) - Ln(J_у - J_н)

или

- t/Т = Ln[(J_у - J)/(J_у - J_н)](2-14)

Представим обе части выражения (2-14) в виде

показателей степени основания натуральных логарифмов

 

 

Exp(-t/Т ) = (J_у - J)/(J_у - J_н)

или

(J_у - J_н) Exp(-t/Т ) = (J_у - J)(2-15)

Окончательно получим выражение зависимости J=f(t)

J = J_у - (J_у - J_н ) Exp(-t/Т)(2-16)

или

J = J_н Exp(-t/Т) + J_у [1-Exp(-t/Т)](2-17)

Эта форма решения исходного уравнения (2-6) широко применяется при расчетах тепловых процессов на ЭВМ, что будет рассмотрено в следующем параграфе. Для понимания процесса нагревания однородного тела как перехода от начального значения перегрева J_нк устано-вившемуся J_уболее удобна другая форма решения. Прибавим и вычтем из правой части уравнения (2-17) J_н.

J = J_н - J_н + J_нExp(-t/Т) + J_у [1-Exp(-t/Т)]

или

J = J_н - J_н[1-Exp(-t/Т)] + J_у[1-Exp(-t/Т)]

или

J = J_н + (J_у - J_н)[1-Exp(-t/Т)](2-18)

Здесь первое слагаемое - начальное значение перегрева тела над охлаждающей средой в момент начала действия

нагревающей мощности Р, а второе - температурная разность, которая преодолевается по возрастающей кривой

(рис. 2.3).

Очень важный момент. В исходном дифференциаль-ном уравнении (2-6) было два аргумента – время t и величина нагревающей мощности Р, точнее - аргумент t и параметр Р. Но в полученных выражениях (2-17) и (2-18),

представляющих собой зависимость J=f(t), нагревающая мощностьРотсутствует, выпала из них.