Доведення

Розглянемо два послідовні наближення . . Тоді . Будемо надавати числу n значень: 1, 2, 3, ...

...

(6)

Розглянемо ряд , бачимо, що . З нерівності (6) слідує, що ряд збіжний, тоді перейшовши до границі в (3) отримаємо, що - розв’язок рівняння (2).

Доведемо єдиність. Нехай тоді

остання дужка завжди не дорівнює нулю.. Корінь єдиний. Візьмемо будь-яке число і

перейти до границі при отримаємо нерівність (5).

 

Для доведення (1) до виду (2) можна застосувати такий метод. Замінимо рівняння (1) рівносильним рівнянням де ,то (1) (2) рівносильні. Та повинно бути таке, що , тобто , тобто якщо знак функції на [a,b] не змінився, топовинна мати той самий знак, що й і задовольняти нерівність (7)

Н-д:перетворити рівність , до виду, так щоб задовольняла всі умови теореми, якщо розв’язок

візьмемо =0.079, тоді отримаємо

вхідні дані оцінка точності.

Зауваження: для оцінки точності на практиці зручно користуватися формулою: (8)