МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ

 

Нехай задана система рівнянь:

(1)

 

1). МЕТОД НЬЮТОНА.

 

По методу Ньютона послідовність наближень будують за формулою:

(2)

- матриця обернена до матриці Якобі. Для системи двох рівнянь з двома невідомими формули (2) наберуть вигляд: , .

.

За початкове наближення вибираємо точку, яка знаходиться якомога ближче до розв’язку.

 

2). МЕТОД ПРОСТОЇ ІТЕРАЦІЇ.

 

Нехай маємо систему:

(3)

або (), яка рівносиль системі (1).

Ітерації будуємо користуючись формулою: (4)

Щоб звести f(x)=0 до () потрібно, щоб .

Тоді .

У випадку функції двох змінних, отримаємо: ,

.

шукають з системи:

Зауваження: метод ітерації буде збіжним, якщо виконується умови:

або

.

Тоді оцінку похибки проводять за формулою: ,

де або .

 

 

Розділ 3

§1

Постановка задачі інтерполяції

Нехай на сегменті [a;b] задана система (n+1) точок: . Їх називають вузли інтерполяції. Задано також значення в цих точках деякої функції: , ,…..,. Потрібно побудувати деяку функцію (інтерполяційну функцію), яка належить деякому класу функцій і таку , що: , ,…..,.

Геометрично це означає: потрібно побудувати деяку криву певного типу, яка проходить через задану систему точок. Ці точки називаються вузлами інтерполяції.

Отриману інтерполяційну функціювикористовуємо для знаходження значень функціїв точках відмінних від вузлів інтерполяції. Така операція називається інтерполяція функцій.

Виділяють також поняття екстраполяції функції. Це той випадок, коли шукаємо значення функціїв точці, яка не належить [a;b].