В формули (1), (2) підставимо , тоді з формули (2) будемо мати:
, . Тому (1)- формула трапецій.
Геометрична інтерпретація:
Оцінимо похибку:
Нехай - неперервні на , запишемо .
Зауважимо, що .
,
.
.
Проінтегруємо послідовно отримані похідні.
,
.
.
Тоді . (2)
Поділивши відрізок на частин точками , , . Застосувавши формулу (1) на кожному з цих відрізків отримаємо : (3)- узагальнена формула трапецій.
Похибка формули (3) буде рівна сумі похибок на кожному з відрізків.
,
§14
КВАДРАТУРНІ ФОРМУЛИ СІМПСОНА
У формулу (1) §12 підставимо , отримаємо: , , . Тоді з формули (1) §12 маємо: (1)- квадратурні формули Сімпсона.
,
.
Обчислимо , ,, і про інтегрувавши як в попередньому §, отримаємо: , .
Розбивши відрізок на рівних частин точками , , і застосувавши формулу (1) на відповідних парах відрізків отримаємо:
(3)- узагальнена формула Сімпсона.
Похибка останньої формули буде дорівнювати сумі похибок на відповідних парах відрізків: , , де .
Для практичної оцінки точності використовують так званий метод подвійного підрахунку.
Нехай похідна змінюється повільно і пропорційно до кроку в деякому сегменті. Обчислимо скориставшись квадратурною формулою інтеграл з кроком і :
,
,
віднявши їх одержимо:
(4)
для кожної квадратурної формули значення різне.