ФОРМУЛИ ТРАПЕЦІЇ.

В формули (1), (2) підставимо , тоді з формули (2) будемо мати:

, . Тому (1)- формула трапецій.

Геометрична інтерпретація:

 

 

 

 

Оцінимо похибку:

Нехай - неперервні на , запишемо .

Зауважимо, що .

,

.

.

Проінтегруємо послідовно отримані похідні.

,

.

.

Тоді . (2)

Поділивши відрізок на частин точками , , . Застосувавши формулу (1) на кожному з цих відрізків отримаємо : (3)- узагальнена формула трапецій.

Похибка формули (3) буде рівна сумі похибок на кожному з відрізків.

,

 

 

§14

КВАДРАТУРНІ ФОРМУЛИ СІМПСОНА

 

У формулу (1) §12 підставимо , отримаємо: , , . Тоді з формули (1) §12 маємо: (1)- квадратурні формули Сімпсона.

 

 

,

 

.

Обчислимо , ,, і про інтегрувавши як в попередньому §, отримаємо: , .

Розбивши відрізок на рівних частин точками , , і застосувавши формулу (1) на відповідних парах відрізків отримаємо:

(3)- узагальнена формула Сімпсона.

Похибка останньої формули буде дорівнювати сумі похибок на відповідних парах відрізків: , , де .

Для практичної оцінки точності використовують так званий метод подвійного підрахунку.

Нехай похідна змінюється повільно і пропорційно до кроку в деякому сегменті. Обчислимо скориставшись квадратурною формулою інтеграл з кроком і :

,

,

віднявши їх одержимо:

(4)

для кожної квадратурної формули значення різне.