Означення: Сплайном називається функція для якої існує поділ її області визначення на підобласті, такі що в середині кожної підобласті ця функція є многочленом деякого степеня . Крім того ця функція неперервна на області визначення разом зі своїми похідними до порядку.
Найчастіше використовують випадок . Нехай на задана неперервна функція , задане розбиття відрізка точками: , для всіх .
Кубічним сплайном, який наближає дану функцію будемо називати функцію , яка задовольняє наступні умови:
а) на кожному з відрізків ;
б) , , ;
в) для всіх .
Доведемо існування та єдність такого сплайну. Доведення носитиме конструктивний характер, тобто буде містити спосіб побудови сплайна. Будемо позначати через ту частину сплайна, яка відповідає відрізку , , р(х)= , де,(1) де - коефіцієнти, які потрібно знайти.
,
.
З умови в) випливає .(2)
З того, що .
В (1) підставивши, отримаємо:
.
Позначимо .
З останньої рівності будемо мати: .(3)
З того, що ,
, , (4) .
З того, що .
Тобто , , (5) .
Об’єднуючи (3), (4) і (5) отримаємо систему рівняння з невідомими. Ще два рівняння дістанемо, якщо задамо деякі крайові умови для сплайна . Наприклад: , тобто або , .
З рівнянь (3), (4), (5) виключимо коефіцієнти . Отримаємо деяку систему рівнянь, яка містить коефіцієнти .
З (3) , (*)
.
Віднімемо дані рівності, і підставимо в (4), отримаємо: .
Звівши подібні доданки, отримаємо:
.(6)
З рівності (5) маємо: , . Підставимо дані рівності в (6), отримаємо: . Позбудемось індексу (): , (7), , .
Дана система має єдиний розв’язок. Розв’язавши одним з відомих методів систему (7) коефіцієнти шукаємо з (5) і (*).
(8)
(9)
Зауваження:ми вибирали граничні умови , але в загальному випадку їх слід вибирати з властивостей функції, яку наближаємо.
Наприклад: нехай відомі , , то покладаємо , .
Якщо в вузлах інтерполяції функція, яку наближаємо задана не точно, а наближено, то немає смислу будувати сплайн, який в точках набував би значення . Будують сплайн, який в точках проходить поблизу заданих значень . Такий процес називають сплайн-інтерполяцією з вирівнюванням.