Означення: Різницевим рівнянням називається рівняння відносно функції дискретної змінної.

Розглянемо найпростіший випадок одного лінійного рівняння відносно невідомої функції одного цілочисельного аргументу.

(1)

Відмітимо, що це рівняння називається лінійним різницевим рівнянням к-того порядку. Воно є дискретним аналогом лінійного диференціального рівняння порядку k рівняння:.

Означення: Рівняння (2) називається лінійним однорідним різницевим рівнянням.

Теорема: Якщоє деякий частинний розв’язок рівняння (1), тоє розв’язком однорідного рівняння (2).

Означення:Система розв’язок рівняння (2) називається лінійно незалежною, якщо з того, що

Теорема: Якщо деякі функції є розв’язком однорідного рівняння (2), то лінійна комбінація теж є розв’язком рівняння (2)

 

Мають місце наступні твердження:

1. Загальний розв’язок неоднорідного рівняння дорівнює сумі його частинного розв’язку і загального розв’язку відповідного однорідного рівняння.

2. Якщо функції є розв’язками однорідного рівняння (2), то теж є розв’ язком рівняння (2).

3. Якщо , то загальний розв’ язок рівняння (2) можна записати у вигляді: , де - лінійно-незалежні розв’ язки рівняння (2).

Означення: Якщо в рівняннях (1) і (2) коефіцієнти не залежать від , то такі рівняння називаються рівняннями з сталими коефіцієнтами.

()

()

розв’ язок рівняння (2) будемо шукати у вигляді: . Тобто .

Бачимо, що кожному кореню рівняння відповідає частинний розв’ язок рівняння (), а саме . Якщо всі корені характеристичного рівняння прості, то маємо к-різних розв’язків. Якщо деякий корінь має кратність , то йому відповідають розв’язки: , , …,.