Розглянемо найпростіший випадок одного лінійного рівняння відносно невідомої функції одного цілочисельного аргументу.
(1)
Відмітимо, що це рівняння називається лінійним різницевим рівнянням к-того порядку. Воно є дискретним аналогом лінійного диференціального рівняння порядку k рівняння:.
Означення: Рівняння (2) називається лінійним однорідним різницевим рівнянням.
Теорема: Якщоє деякий частинний розв’язок рівняння (1), тоє розв’язком однорідного рівняння (2).
Означення:Система розв’язок рівняння (2) називається лінійно незалежною, якщо з того, що
Теорема: Якщо деякі функції є розв’язком однорідного рівняння (2), то лінійна комбінація теж є розв’язком рівняння (2)
Мають місце наступні твердження:
1. Загальний розв’язок неоднорідного рівняння дорівнює сумі його частинного розв’язку і загального розв’язку відповідного однорідного рівняння.
2. Якщо функції є розв’язками однорідного рівняння (2), то теж є розв’ язком рівняння (2).
3. Якщо , то загальний розв’ язок рівняння (2) можна записати у вигляді: , де - лінійно-незалежні розв’ язки рівняння (2).
Означення: Якщо в рівняннях (1) і (2) коефіцієнти не залежать від , то такі рівняння називаються рівняннями з сталими коефіцієнтами.
()
()
розв’ язок рівняння (2) будемо шукати у вигляді: . Тобто .
Бачимо, що кожному кореню рівняння відповідає частинний розв’ язок рівняння (), а саме . Якщо всі корені характеристичного рівняння прості, то маємо к-різних розв’язків. Якщо деякий корінь має кратність , то йому відповідають розв’язки: , , …,.