Розглянемо простір функцій сумовних з квадратом на відрізку . Елемент найкращого наближення будемо шукати серед: - тригонометричний многочлен степеня . В якості лінійно-незалежної системи функцій беремо ортонормовану систему Розв’язавши систему (2) попереднього параграфа, отримаємо: , , . Тобто найкраще середньоквадратичне наближення для періодичної функції будуть давати частинні суми ряду Фур’є функції
§21
НАЙКРАЩЕ РІВНОМІРНЕ НАБЛИЖЕННЯ. ТЕОРЕМА ЧЕБИШЕВА
Якщо норма в лінійному просторі визначена не через скалярний добуток, то пошук елемента найкращого наближення ускладнюється.
Нехай - множина многочленів степеня не вище . Нехай також функція неперервна на і візьмемо . Відхилення функції від множини означається рівністю , нижню межу величини по всіх многочленах називають найменшим відхиленням.
Критерій за яким визначають елемент найкращого наближення дає теорема.
Теорема Чебишева:нехай неперервна на . Для того щоб степеня не вище був многочлен найкращого рівномірного наближення для функції необхідно і достатньо щоб на відрізку існувала хоча б одна система з -х точок в якій різниця задовольняла б наступні умови:
Ці дві умови можна записати так:
Означення: система про яку їде мова в теоремі називається чебишевським альтернантом.
Означення: точка , або називатимемо е-точкою.
Означення:якщо в е-точці виконується , то точку називають “+” точкою, а якщо , то “-” точкою.