Будемо вважати, що [а,в]=[0,1], бо можна це завжди досягнути шляхом заміни змінної.
Розглянемо многочлен Бернштейна:
(1)
Покажемо, що при великих n він задовольняє умови теореми.
(2)
Віднімемо від (1) - (2) матимемо:
(3)
Якщо f(x) неперервна на [0,1], то вона рівномірно неперервна, тобто:
"ε>0$ : "є[0,1]:
ε
Візьмемо " х є[0,1]. Суму в (3) розіб‘ємо на дві:
де сумуємо по тих k для яких і
де сумуємо по тих k для яких
Позначимо через , тоді оцінимо суму
Згідно з Лемою2 при х є[0,1]:
, бо , ,
тоді якщо , то , тоді
Тоді:
Для :
Візьмемо такий, що , тоді
#
Зауваження: Справедливе твердження: Якщо f(x)є[0,1] має неперервну похідну до енного порядку включно, то: