Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
Система из m линейных уравнений с n неизвестными х1, х2, … хn имеет вид
a11 x1 + a12 x2 +…+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +…+ a2n xn = b2
………………………………
am1 x1 + am2 x2 +…+ amn xn = bm
где числа aij ( i = 1,m; j = 1, n) называются коэффициентами системы, а числа b1,b2,…bm
называют свободнымичленами. Решением системы линейных уравнений называется такой набор чисел (а1,а2,…аn), что при его подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений системы обращается в тождество.
Система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных (m=n) и определитель системы не равен 0 (det A = Δ ≠ 0), имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера:
х1 = Δ1 / Δ; х2 = Δ2 / Δ …. хn = Δn / Δ
где Δk – определитель, получаемый из определителя системы Δ заменой k-го столбца столбцом свободных членов.
Если Δ = 0 и хотя бы один из определителей Δ1, Δ2, ... Δk отличен от нуля, то система не имеет решения (несовместна). Если Δ = 0 и Δ1= Δ2=...=Δk=0, то система либо не имеет решений, либо, если система имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много решений.
Матричная форма: система линейных уравнений при m=n имеет вид АХ=В, где
a11 a12 … a1n x1 b1
A = a21 a22 … a2n X = x2 B = b2
…………. … …
an1 an2 … ann xn bn