Теорема. Момент рівнодійної системи сил відносно довільної точки дорівнює геометричній сумі моментів всіх сил системи відносно даної точки, а момент рівнодійної системи сил відносно осі дорівнює алгебраїчній сумі момен-тів всіх сил системи відносно даної осі.
Доведення.Сформульована теорема справедлива для будь-якої системи сил, яка має рівнодійну. Доведення теореми проведемо лише для збіжної системи сил, яка, як відомо, має рівнодійну. Доведення цієї теореми для загального випадку приведене в § 22.
Нехай сили даної системи прикладені до точки (рис. 26).
До цієї ж точки буде прикладена і рівнодійна заданої системи сил. Визначимо її момент відносно довільної точки . З визначення моменту сили відносно точки (формула 1.15) маємо
.
Оскільки , то отримаємо
.
Але
,
тоді
, (1.23)
що і вимагалось довести в першій частині теореми Варіньйона.
Спроектувавши векторну рівність (1.23) на вісь
(рис. 26) і знаючи, що:
1) проекція вектора моменту сили відносно точки на вісь, що проходить через дану точку, дорівнює моменту заданої сили відносно цієї осі;
2) проекція векторної суми на вісь дорівнює алгебраїчній сумі відповідних проекцій,
отримаємо рівність, яку необхідно було довести в другій частині теореми Варіньйона
. (1.24)
Примітки.
1. Теорема Варіньйона доведена для найпростішої системи сил – збіжної, бо нам поки що відомо єдину систему сил, яка зводиться до рівнодійної. Такою системою є система збіжних сил. Проте вона має місце для будь-якої системи сил, яка зводиться до рівнодійної.
2. Якщо сили і точка розміщені в одній площині, то їх вектори моментів сил перпендикулярні до цієї площини, тобто вони лежать на одній прямій і рівність (1.23) можна записати у вигляді
. (1.25)
Отже,