Окремі випадки зведення довільної системи сил

Зводячи довільну просторову системи сил до заданого центра, можемо зустрітись з одним з чотирьох випадків.

1. Головний вектор і головний момент заданої системи сил відповідно дорівнюють нулеві

(1.44)

В цьому випадку згідно з еквівалентністю (1.43) маємо

тобто,

0,

дія заданої системи сил на тверде тіло еквівалентна нулеві, а це означає, що вона є зрівноваженою. Отже, рівності (1.44) є векторними умовами зрівноваження довільної системи сил, які формулюються так:

для рівноваги довільної системи сил необхідно і достатньо, щоб її головний вектор і головний момент дорівнювали нулеві.

2. Головний вектор заданої системи сил дорівнює нулеві , а головний її момент не дорівнює нулеві . В цьому випадку система сил зводиться до пари сил, момент якої дорівнює головному моменту заданої системи сил відносно центра зведення , тобто, геометричній сумі моментів всіх сил системи відносно центра зведення.

3. Припустимо тепер, що головний вектор системи сил не дорівнює нулеві , а головний момент її дорівнює нулеві . В цьому випадку у відповідності з (1.43)
маємо

,

тобто

.

Але, якщо деяка система сил зводиться до однієї сили, то ця сила називається рівнодійною.

Отже, в даному випадку система сил зводиться до рівнодійної , яка прикладена в центрі зведення і геометрично рівна головному вектору системи.

4. Нехай головний вектор і головний момент системи не дорівнюють нулеві . Тут можуть бути два випадки:

а). Головний вектор і головний момент взаємно перпендикулярні .

В цьому випадку відносно центра зведення О (рис. 42) маємо силу і пару сил з моментом . До того ж вектор моменту пари буде перпендикулярний до вектора сили . Отриману систему можна спростити. Для цього вектор моменту пари зобразимо парою, яку розмістимо так, щоб одна з сил пари (сила на рис. 43) була прикладена в бік, протилежний напряму сили . Візьмемо сили , які становлять пару, чисельно рівними силі , тоді плече цієї пари братимемо рівним . Дві сили і , які прикладені в точці О, взаємно зрівноважуються і їх можна виключити, в результаті чого залишиться одна сила , прикладена в точці С (рис. 44). Отже, в цьому випадку система сил зводиться до однієї сили, тобто до рівнодійної, геометрично рівної головному вектору системи. Точка прикладання рівнодійної (точка С) зміщена від центра зведення системи (точки О) на відрізок ОС, який визначається за формулою

, (а)

де – момент пари сил, отриманий при зведенні системи сил до центра О (рис. 42); – отримана рівнодійна. Оскільки , то відношення (а) можна записати у вигляді

, (1.45)

Рис. 42

Рис. 43

Рис. 44

 

б). Головний вектор і головний момент не є взаємно перпендикулярними ^ .

В цьому випадку відносно центра зведення О (рис. 45) маємо силу і пару сил з моментом . До того ж вектор моменту пари утворює деякий кут з вектором сили . Це найбільш загальний випадок зведення довільної системи сил до заданого центра.

Рис. 45

Рис. 46

 

Подальше спрощення отриманої системи сил можна провести в двох напрямах. Її можна звести до двох мимобіжних сил або звести до силового гвинта (динами).

Силовим гвинтом (динамою) називається система сил, яка складається з пари сил і сили, яка перпендикулярна до площини дії пари (рис. 46).

Тут ми розглянемо зведення системи сил до силового гвинта. Для цього момент отриманої пари сил (рис. 45) розкладемо на дві складові (рис. 47, а)

.

Величини цих складових

; ,

і їх напрями: . Вектор моменту зобразимо парою сил , причому візьмемо сили пари рівними за ве-личиною силі і розмістимо цю пару так, щоб одна з цих сил (наприклад, ), була прикладена в точці О і напрямлена протилежно силі (рис. 47, б). Друга сила пари буде прикладена в точці А, яка лежить на перпендикулярі, поставленому в точці О до площини, що проходить через і на відстані

.