Центр ваги дуги кола

Розглянемо дугу ADВ кола радіуса R з центральним кутом . Помістимо початок системи координат в центрі кола, а вісь Ох проведемо як вісь симетрії дуги (рис. 79). Оскільки вісь Ох є віссю симетрії дуги, то центр ваги її буде знаходитись на цій осі, тобто , і залишається знайти тільки . Для цього скористаємося формулою

в якій сумування замінимо інтегруванням, тобто

(а)

В даній формулі – довжина дуги, яка вираховується за формулою

(б)

Щоб вирахувати інтеграл, який стоїть в чисельнику, під кутом виділимо елемент дуги , центральний кут якої , тоді . Координата виділеного елемента дуги, згідно з рис. 79 визначиться за формулою

Тоді

(в)

Підставляючи (б) і (в) в (а), отримаємо

,

або

(1.77)

Отримана формула визначає центр ваги дуги радіуса . В даній формулі – половина центрального кута дуги в радіанах.

В частковому випадку для дуги півкола будемо мати

(1.78)