Швидкість і пришвидшення точки в полярних координатах

Як практичне застосування отриманих формул, визначи-мо швидкість і пришвидшення точки в полярних координатах. З математики відомо, що положення точки на площині можна визначити параметрами і , які є координатами полярної системи координат (рис. 89). На цьому рисунку для наочності зображено і декартову систему координат . При русі точки координати і неперервно змінюються, тобто є функціями часу

(2.14)

Записані рівняння є рівняннями руху точки в полярних координатах. З рис. 89 видно, що залежність між декартовими і полярними координатами визначається співвідношеннями

(а)

Продиференціювавши співвідношення (а) за часом, отримаємо проекції вектора швидкості точки на декартові осі координат

(б)

і, використовуючи формулу (2.9), визначимо величину вектора швидкості

Отже,

(2.15)

Формула (2.15) визначає величину швидкості точки, рух якої задано в полярних координатах, тобто визначається рівняннями (2.14). Введемо одиничні вектори полярної системи координат: напрямлений по радіусу-вектору в бік зростання і , повернутий відносно на кут в бік зростання кута (рис. 89). Із формули (2.15) видно, що швидкість точки в полярній системі координат дорівнює сумі двох взаємно перпендикулярних векторів: – радіальної складової і – поперечної (трансверсальної) складової. Якщо і додатних знаків, то вектори і співпадають із напрямами одиничних векторів і і навпаки, якщо і від’ємних знаків, то і вектори і мають напрями, протилежні до і (рис. 90).

За допомогою формул (2.11) і (2.12) визначимо пришвидшення точки. Для цього співвідношення (б) ще раз диференціюємо за часом

Згрупувавши окремі члени, отримаємо

Величину вектора пришвидшення визначимо за формулою

. (2.16)

Формула (2.16) визначає величину вектора пришвидшення точки, рух якої задано в полярних координатах, тобто визначається рівняннями (2.14).

Із формули (2.16) видно, що пришвидшення точки в полярній системі координат дорівнює сумі двох взаємно перпен-дикулярних векторів: – радіальної складової і – трансверсальної складової. Напрями векторів і визначаються так само, як і напрями векторів швидкості, і залежать від знаків алгебраїчних величин і . Вектори і для випадку і показані на рис. 90.