Складання обертань навколо осей, що перетинаються

Прикладом такого руху є рух конічної шестірні 1, що перебуває у зчепленні з нерухомою шестірнею 2 і приводиться в рух кривошипом (рис. 149). Елементарний аналіз руху шестірні 1 показує, що вона одночасно здійснює два обертання: обертається навколо кривошипа з кутовою швидкістю і разом з кривошипом обертається навколо вертикальної осі з кутовою швидкістю . Осі перетина-ються в точці .

Для визначення результуючого руху розглянемо тверде тіло (рис. 150), яке одночасно обертається навколо двох осей: навколо осі з кутовою швидкістю і навколо осі – з кутовою швидкістю .

З точки перетину осей вздовж відповідних осей відкладемо вектори і і на цих векторах побудуємо паралелограм. Визначимо швидкості точок і – вершин цього паралелограма. Оскільки тіло здійснює складний рух, то кожна його точка також здійснює складний рух, а це означає, що швидкості кожної його точки можна обчислювати за теоремою про складання швидкостей

. (а)

Якщо одне обертання, наприклад, навколо осі , прийняти за переносний рух, а інше (навколо осі ) – за відносний, то матимемо:

для точки : ; , бо точка знаходиться як на осі переносного обертання , так і на осі відносного обертання ;

для точки : , .

Враховуючи це, на підставі формули (а), отримаємо

тобто, абсолютні швидкості точок і в даний момент часу дорівнюють нулеві. Якщо через дані точки провести вісь , то вона буде геометричним місцем точок, абсолютні швидкості яких в даний момент часу дорівнюють нулеві, а це означає, що вона є миттєвою віссю абсолютного обертання.

Таким чином,

при складанні двох обертань твердого тіла навколо осей, які перетинаються, результуючий (абсолютний) рух тіла в кожний момент часу є обертальним навколо миттєвої осі, положення якої визначається діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах кутових швидкостей складових обертань (рис. 150).

Позначимо кутову швидкість абсолютного обертання і визначимо її. Для цього знайдемо швидкість точки , положення якої визначається радіус-вектором (рис. 150)

. (б)

Оскільки переносний і відносний рух є обертальними, то вектори переносної і відносної швидкостей визначаються за формулою Ейлера

; .

З другого боку, як тільки що було доведено, абсолютний рух тіла є обертальним навколо миттєвої осі , а це означає, що і абсолютна швидкість точки буде визначатись формулою Ейлера

.

Враховуючи сказане, формула (б) набуває вигляду

.

Оскільки точка , отже і її радіус-вектор довільні, то матимемо

. (2.101)