Інтегральна теорема Лапласа
Знову припустимо, що здійснюється n випробувань, у кожному з яких імовірність появи події А постійна і дорівнює р (0<р<1). Як обчислити ймовірність Pn (k1, к2) того, що подія А з'явиться в n випробуваннях не менше k1 і не більше k2 разів (для стислості будемо говорити «від k1 до k2 разів»)? На це питання відповідає інтегральна теорема Лапласа.
Теорема. Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює 
, то для великих значень n імовірність появи випадкової події від к1 до к2 раз обчислюється за такою асимптотичною формулою:
де 
та 
,
а Ф(х) дорівнюється:
є функцією Лапласа .
Значення Ф(х) знаходять також за таблицею, яка наведена в додатку 2.
Ф(x) є непарною функцією, отже, Ф(–x) = – Ф(x).
Розв’язуючи задачі, додержують такого правила:
, 
.
Отже, практично функція Лапласа застосовується для значень 
,
Приклад 3. Верстат-автомат виготовляє однотипні деталі. Імовірність того, що виготовлена одна деталь виявиться стандартною, є величиною сталою і дорівнює 0,95. За зміну верстатом було виготовлено 800 деталей. Яка ймовірність того, що стандартних деталей серед них буде від 720 до 780 шт.?
Розв’язок. За умовою задачі:
; 
; 
; 
;
.
;
;
Приклад 3.Імовірність появи події в кожному з 100 незалежних випробувань постійна і дорівнює р = 0,8. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться: а) не менше 75 разів і не більше 90 разів, б) не менше 75 разів; в) не більше 74 разів.
Розв’язок. Скористуємося інтегральною теоремою Лапласа:
,
де Ф(х) – функція Лапласа,
, 
.
а) За умовою n=100; p=0,8; q=0,2; 
. Знайдемо 
и 
:
;
.
Враховуючи, що функція Лапласа непарна, тобто 
, отримаємо
За таблицею додатку 2 знайдемо:
Шукана ймовірність:
б) Вимога, щоб подія з'явилося не менше 75 разів, означає, що число появ події може бути 75 або 76, ..., або 100. Таким чином, в розглянутому випадку слід прийняти, к1=75, к2=100, тоді
;
.
За таблицею додатка 2 знайдемо
.
Шукана ймовірність:
.
в) Подія – «А з'явилося не менше 75 разів» і «А з'явилося не більше 74 разів» протилежні, тому сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці. Отже, шукана ймовірність
.