Теорія ймовірностей та математична статистика. ПРАКТИКУМ

Міністерство освіти і науки України

Первомайський політехнічний коледж

Первомайського політехнічного інституту

Національного університету кораблебудування ім.адмірала Макарова

Клига Л.Ф.

 

 

 

ПРАКТИКУМ

 

Первомайськ 2013

 

 

 

Міністерство освіти і науки України

Первомайський політехнічний коледж

Первомайського політехнічного інституту

Національного університету кораблебудування ім.адмірала Макарова

Клига Л.Ф.

Теорія ймовірностей та

математична статистика

 

ПРАКТИКУМ

ББК 22171

К 49

 

 

Укладач: Клига Л.Ф., викладач вищої категорії Первомайського політехнічного коледжу ППІ НУК імені адмірала Макарова

 

Рецензент:викладач методист Обуховська Г.І.

Розглянуто та ухвалено цикловою комісією “Обслуговування комп'ютерних систем”

Протокол № 2 від 06.09. 2013 р.

 

Рекомендовано до друку навчально-методичною радою коледжу

Протокол № 2 від 09 вересня 2013 р.

 

 

У навчальному посібнику подано теоретичний матеріал, розв'язки типових задач, задачі для самостійного розв'язування та домашнє завдання.

 

Клига Л.Ф.Для студентів спеціальності "Обслуговування комп’ютерних систем і мереж", а також для всіх, хто застосовує теорію ймовірностей і статистичні методи при розв'язуванні практичних задач.

 

ЗМІСТ

 

 

Практична робота №1 Метод математичної індукції. Розміщення, перестановки, комбінації з повтореннями та без повторень.
Практична робота №2Класичне, статистичне й геометричне означення ймовірності
Практична робота №3Розв’язок задач за допомогою теорем додавання, множення та формули повної ймовірності
Практична робота №4Розв’язок задач за допомогою формули Бернуллі
Практична робота №5Розв’язок задач за допомогою формул Лапласа
Практична робота №6Визначення наймовірнішого числа подій в незалежних випробуваннях. Закони розподілу
Практична робота №7Математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення
Практична робота №8Знаходження оцінок параметрів генеральної сукупності
Основні формули
Таблиця значень функції
Таблиця значень функції

ПЕРЕДМОВА

 

 

Курс теорії ймовірностей і математичної статистики включає в себе відповідний практикум, що дає змогу студентам опанувати основні прийоми та методи теорії ймовірностей і математичної статистики і набути необхідні навики для практичного застосування теоретичного матеріалу. Формальною передумовою для вивчення курсу теорії ймовірностей і математичної статистики є володіння теорією міри в обсязі коледжу – загальної теорії випадкових подій випадкових величин, а також елементів математичної статистики.

Програма вивчення нормативної дисципліни «Теорія ймовірностей і математична статистика» складена відповідно до місця та значення дисципліни за структурно-логічною схемою, передбаченою освітньо-професійною програмою підготовки молодшого спеціаліста з напряму 6.050102 “Комп'ютерна інженерія”, і охоплює всі змістовні модулі, визначені анотацією для мінімальної кількості годин, передбачених стандартом.

Предметом вивчення дисципліни «Теорія ймовірностей і математичної статистики» є кількісні й якісні методи та засоби аналізу закономірностей еволюції систем прикладного напряму, що розвиваються в умовах стохастичної невизначеності.

Міждисциплінарні зв'язки: дисципліни «Теорія ймовірностей і математична статистика» викладається після вивчення студентами курсу "Вища математика", "Дискретна математика".

 

Практична робота №1

 

Тема: Метод математичної індукції. Розміщення, перестановки, комбінації з повтореннями та без повторень.

Мета:Навчити розв’язувати задачі методами: математичної індукції, розміщення, перестановки, комбінації з повтореннями та без повторень; формувати абстрактно-логічне мислення.

 

Теоретична частина

Математи́чна інду́кція – застосування принципу індукції для доведення теорем в математиці. Зазвичай полягає в доведенні вірності… Отже, загальна схема доведення по індукції така: є деяка послідовність… Такий спосіб міркування називається математичної індукцією, а величина n називається параметром індукції. Кажуть, що…

Розв’язок.

Відвідують математичний гурток – 20 учнів Відвідують фізичний гурток – 11 учнів Не відвідують жодного гуртка – 10 учнів

Задачі для самостійного рішення

  Приклад 2 . Існують множини А і В з елементами:

Домашнє завдання

Приклад 1. Скільки чотирьохзначних чисел можна утворити з чисел 5, 8, 9, 10, 12, 15 за умови, що цифри в числі не повторюються?

Приклад 2. Студенту треба за 8 днів скласти 4 екзамени. Скількома способами це можна зробити?

 

Приклад 3. Скількома способами можна скласти список з 8 учнів?

 

Приклад 4. Скількома способами можна 125 шахістів поділити на чотири команди?

 

Приклад 5. Два листоноші повинні віднести 10 листів. Скількома способами вони можуть розподілити між собою роботу?

 

Приклад 6. Поїзд, в якому їдуть n пасажирів, робить k зупинок. Скількома способами можуть вийти пасажири на цих зупинках?

 

Приклад 7. Скількома способами можна з колоди 32 карт взяти 12 карт так, щоб 6 з них були однієї масті?

Питання для закріплення

1. Поясніть принцип повної математичної індукції?

2. Опишіть схему визначення комбінацій?

3.В чому полягає суть формули включення та виключення?

Практичне заняття №2

Тема: Класичне, статистичне й геометричне означення ймовірності

Мета:Сприяти формуванню вмінь використовувати формулу ймовірності подій при розв’язку задач.

 

Теоретична частина

Р(А)= де m – число елементарних результатів, що сприяють А; п – число вcіx можливих… Властивість 1. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Задачі для самостійного рішення

сума випавших очок дорівнює восьми, а різниця - чотирьом.   Приклад 2. При перевезенні ящика, в якому містилися 21 стандартна і 10 нестандартних деталей, загублена одна деталь,…

Домашнє завдання

А) сума випавших очок дорівнює 5, а добуток 4. Б) сума випавших очок дорівнює 8, а різниця 4.  

Питання для закріплення

1. Дати класичне означення ймовірності випадкової події.

2. Яка подія називається випадковою? Навести приклади.

3. Що називається геометричною ймовірністю?

4. Що таке статистична ймовірність?

 

Практичне заняття №3

Тема: Розв’язок задач за допомогою теорем додавання, множення та формули повної ймовірності

Мета:Наблизити до самостійного рішення задач, використовуючи теореми додавання та множення ймовірностей.

Теоретична частина

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)   Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі…

Зокрема, якщо всі n подій мають однакову ймовірність, рівну р, то ймовірність появи хоча б однієї з цих подій

Р(A) = 1–q1q2q3…qn.

Приклад 5. В електричне коло послідовно включені три елементи, які працюють незалежно один від іншого. Ймовірності відмов першого, другого і третього елементів відповідно рівні: р₁, = 0,1; р₂, = 0,15; р₃, = 0,2.

Знайти ймовірність того, що струму в ланцюзі не буде.

Розв’язок. Елементи включені послідовно, тому струму в ланцюзі не буде (подія А), якщо відмовить хоча б один з елементів.

Шукана ймовірність дорівнює:

Р (А) = 1–q₁q₂q₃= 1– (1-0,1)(1-0,15)(1-0,2)= 0,388.

 

Приклад 6. У урну, яка містить дві кулі, опущений біла куля, після чого з неї навмання витягнутий одна куля.

Знайти ймовірність того, що витягнутий куля виявиться білим, якщо рівноможливі всі можливі припущення про первинному складі куль (за кольором).

Розв’язок. Позначимо через А подію – витягнута біла куля.

Можливі наступні припущення (гіпотези) про початковий склад куль:

B₁ – білих куль немає,

В₂ – одна біла куля,

В₃ – дві білих кулі.

Оскільки всього є три гіпотези, причому за умовою вони рівноймовірні, і сума ймовірностей гіпотез дорівнює одиниці (оскільки вони утворюють повну групу подій), то ймовірність кожної з гіпотез дорівнює 1/3, тобто

Р (B₁) = P (В₂ ) = Р (В₃) == 1/3.

Умовна ймовірність того, що буде витягнута біла куля, при умові, що спочатку в урні не було білих куль, Р_В1 (А) = 1/3.

Умовна ймовірність того, що буде витягнута біла куля, при умові, що спочатку в урні була одна біла куля Р_В2 (А) = 2/3.

Умовна ймовірність того, що буде витягнута біла куля, при умові, що спочатку в урні було дві білих кулі Р_ВЗ (А) = 3/3 = 1.

Шукану ймовірність того, що буде витягнута біла куля, знаходимо за формулою повної ймовірності:

Р(А)=Р(В₁)Р_в1(А)+Р(В₂)Р_В2(А)+Р(В₃)Р_В3(А) =1/3*1/3+1/3*2/3+1/3*1=2/3.

 

Приклад 7. Два автомати виробляють однакові деталі, які надходять на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомата вдвічі більше продуктивності другого. Перший автомат виробляє в середньому 60% деталей відмінної якості, а другий-84%. Навмання взята з конвеєра деталь виявилася відмінного якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь вироблена першим автоматом.

Розв’язок. Позначимо через А подію – деталь відмінної якості. Можна зробити два припущення (гіпотези): B₁ – деталь проведена першим автоматом, причому (оскільки перший автомат виробляє вдвічі більше деталей, ніж другий) P (В₁) = 2/3; B₂ – деталь зроблена другим автоматом, причому Р (В2) = 1/3.

Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона вироблена першим автоматом, Р_В1(А) = 0,6.

Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона вироблена другим автоматом, Р_В2(А) = 0,84.

Ймовірність того, що навмання взята деталь виявиться відмінної якості, за формулою повної ймовірності дорівнює:

Р (А) = Р (В₁) Р_В1(А) + Р (В₂) Р_В2(А) = 2/3 *0,6 +1 / 3* 0,84 = 0,68.

Шукана ймовірність того, що взята відмінна деталь вироблена першим автоматом, за формулою Бейєса дорівнює

Р(А)_В1=

Задачі для самостійного рішення

  Приклад 2. Для сигналізації про аварію встановлено два незалежно працюючих…  

Домашнє завдання

Приклад 1. З партії виробів товарознавець відбирає вироби вищого сорту. Ймовірність того, що навмання взятий виріб виявиться вищого гатунку,… Приклад 2. Ймовірність того, що при одному вимірі деякої фізичної величини…  

Питання для закріплення

1. В якому разі Р(А/В) = 0?

2. Формула для обчислення появи випадкової події хоча б один раз при n незалежних експериментах має вигляд ...

3. Гіпотези у формулі повної ймовірності та їх властивості.

4. Формула повної ймовірності випадкової події А за наявності n гіпотез В_і має вигляд ...

5. В якому разі використовується формула Бейєса?

 

Практична робота №4

 

 

Тема: Розв’язок задач за допомогою формули Бернуллі

Мета:Сформувати чітке уявлення в використанні схеми Бернуллі в розв’язку задач.

 

Теоретична частина

Якщо кожний експеримент має лише два несумісні наслідки (події) зі сталими ймовірностями p і q, то їх називають експериментами за схемою Бернуллі. У… Простір елементарних подій для одного експерименту містить дві елементарні… Якщо відбуваються випробування, при яких імовірність появи події А в кожному випробуванні не залежить від результатів…

Задачі для самостійного рішення

  Приклад 2. а) Знайти ймовірність того, що подія А з'явиться не менше трьох… б) подія В з'явиться у випадку, якщо подія А настане не менше чотирьох разів. Знайти ймовірність настання події В,…

Питання для закріплення

1. Які експерименти називають експериментами за схемою Бернуллі?

2. За якої умови формула Бернуллі застосовується для обчислення ймовірностей?

 

Практична робота №5

 

Тема: Розв’язок задач за допомогою формул Лапласа

Мета:Виробити уміння самостійно використовувати формули Лапласа в розв’язку різного типу задач.

Теоретична частина

де Є таблиці, в яких поміщені значення функції (додаток 1)

Інтегральна теорема Лапласа

Теорема. Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалеж­них експериментів є величиною сталою і дорівнює , то для великих значень n…  

Задачі для самостійного рішення

  Приклад 2. Ймовірність ураження мішені при одному пострілі дорівнює 0,8.… Приклад 3. Імовірність того, що покупець, який завітав до взуттєвого магазину, здійснить покупку, дорівнює в…

Домашнє завдання

 

Приклад 1. Знайти ймовірність того, що подія А настане 1400 разів в 2400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,6

 

Приклад 2.Ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,51. Знайти ймовірність того, що серед 100 новонароджених виявиться 50 хлопчиків

 

Приклад 3. Ймовірність появи події в кожному з 2100 незалежних випробувань дорівнює 0,7. знайти ймовірність того, що подія з'явиться: а) не менше 1470 і не більше 1500 разів, б) не менше 1470 разів; в) не більше 1469 разів.

 

Питання для закріплення

 

1. Сформулювати локальну теорему Муавра-Лапласа.

2. Сформулювати інтегральну теорему Муавра-Лапласа

3. Функція Гаусса та її властивості.

4. Функція Лапласа та її властивості.

 

Практична робота №6

Тема: Визначення наймовірнішого числа подій в незалежних випробуваннях. Закони розподілу

Мета:Оволодіти навичками визначення наймовірнішого числа подій в незалежних випробуваннях

Теоретична частина

Приклад 1. Імовірність появи випадкової події А в кожному з n = 8 незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р = 0,5 (q = 1 – р = 0,5).…   Із таблиці бачимо, що при к = 4 ймовірність набуває найбільшого значення, а саме . Отже, найімовірніше число появи…

Закони розподілу.

x0=0, x1=1, x2=2, ...xn=n Ймовірності можливих значень xk випадкової величини Х обчислимо за біномною… pk=Pn(k)=Cnkpkqn-k, q=1-p

Задачі для самостійного рішення

  Приклад 2.Два стрільці стріляють по мішені. Ймовірність промаху при одному…  

Домашнє завдання

  Приклад 2.Батарея здійснила шість пострілів по об'єкту. Ймовірність попадання…  

Питання для закріплення

 

1. Що називають наймовірнішим числом?

2. Скільки існує к₀ , якщо ціле число?

3. Скільки існує к₀ , якщо дробове число?

4. Запишіть нерівність для знаходження наймовірнішого числа появи події в незалежних випробуваннях?

5.Що називається законом розподілу Пуассона?

Практичне заняття №7

Тема: Математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення

Мета:Сформувати уміння застосувати знання в комплексі

 

Теоретична частина

  Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називається сума… М(X) = x1p1 + x2p2+ . . . +xnpn

Дисперсія випадкової величини.

D(X) = M[X—N(X)]2. Дисперсію зручніше обчислювати за формулою: D(X ) = M(X2)–[M(X)]2.

Задачі для самостійного рішення

Приклад 1. Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу: а) X –4 6 10 . б) X 0,21 0,54 0,61 р 0,2 0,3 0,5 р 0,1 0,5 0,4

Домашнє завдання

Приклад 1. Дискретна випадкова величина X задана законом розподілу: а) X 2 4 5 6 б) X 10 15 20 Р 0,3 0,1 0,2 0,4 Р 0,1 0,7 0,2

Питання для закріплення

 

1. Що називається математичним сподіванням?

2. Назвіть властивості математичного сподівання?

3. Що називається дисперсією випадкової величини?

4. Назвіть властивості дисперсії?

 

 

Практичне заняття №8

Тема: Знаходження оцінок параметрів генеральної сукупності

Мета:Формувати вміння знаходити оцінки генеральної сукупності, будувати полігони частот за даними вибірки

 

Теоретична частина

Статистичним розподілом вибірки називають перелік варіант xi варіаційного ряду і відповідних їм частот ni (сума всіх частот дорівнює обсягу вибірки… Статистичний розподіл вибірки можна задати також у вигляді послідовності… Приклад 1. Вибірка задана у вигляді розподілу частот:

Задачі для самостійного рішення

хі 4 7 8 12 ni 5 2 3 10 Знайти розподіл відносних частот.

Домашнее задание

Приклад 1. Побудувати полігон відносних частот за даним розподілом вибірки

x_i 2 4 5 7 10

w_і 0,15 0,2 0,1 0,1 0,45

 

Приклад 2. Вибірка задана у вигляді розподілу частот:

x_i 2 5 7

n_i 1 3 6

Знайти розподіл відносних частот.

 

Приклад 3. Побудувати гістограму частот по даному розподілу вибірки обсягу:

Номер Частковий Сума частот Щільність

інтервалу інтервал варіант інтервалу частоти

1 3–5 4

2 5–7 6

3 7–9 20

4 9–11 40

5 11–13 20

6 13–15 4

7 15–17 6

Приклад 3. З генеральної сукупності дістали вибірку обсягом n = 60:

x_i 2 5 7 10

n_i 4 20 30 6

Знайти незміщену оцінку генеральної середньої.

 

Приклад 4. Знайти вибіркову середню по даному розподілу вибірки обсягом n =100

x_i 2502 2804 2903 3028

n_i 8 30 60 2

 

 

Питання для закріплення

1. Поясніть, яким чином будується емпірична функція?

2. Що називається полігоном частот?

3. Яким чином будується гістограм відносних частот?

4. Якщо початкові варіанти Х – великі числа, то для спрощення розрахунку, що потрібно зробити?

 

Основні формули

  Розподіл Пуассона М(X) = x1p1 + x2p2+ . . . +xnpn Формула знаходження математичного сподівання дискретної випадкової…   ДОДАТОК 1