Теоретична частина

Найімовірнішим числом появи випадкової події А в результаті n незалежних експериментів за схемою Бернуллі називається таке чис­ло к₀, для якого ймовірність Р_n (к₀) перевищує або в усякому разі є не меншою за ймовірність кожного з решти можливих наслідків експериментів.

Приклад 1. Імовірність появи випадкової події А в кожному з
n = 8 незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р = 0,5 (q = 1 – р = 0,5). Обчислити ймовірності подій для к = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Значення обчислених ймовірностей наведено в таблицi:

m

 

Із таблиці бачимо, що при к = 4 ймовірність набуває найбільшого значення, а саме . Отже, найімовірніше число появи події є к₀ = 4.

Зауважимо, що для визначення наймовірнішого числа появи події немає потреби обчислювати ймовірності для різних можливих значень .

Справді, запишемо формули для обчислення ймовірностей при значеннях к = к₀; к = к₀ – 1; к = к₀ + 1 і розглянемо їх відношення:

.

Об’єднавши два останніх нерівності, дістанемо:

.

Число к₀ називають також модою.

 

Слід зауважити:

а) якщо число np-q – дріб, то існує одне наймовірніше число ;

б) якщо число np-q – ціле, то існує два наймовірніших числа, а саме і +1;

в) якщо число np – ціле, то наймовірніше число =np.

 

Приклад 2.Відділ технічного контролю перевіряє партію з 10 деталей. Ймовірність того, що деталь стандартна, дорівнює 0,75. Знайти найімовірніше число деталей, які будуть визнані стандартними.

Розв’язок. За умовою задачі:

p=0,75

n=10

Знайдемо q:

q=1- p = 1-0,75=0,25

Знайдемо к₀ з формули:

10*0,75-0,25<=k₀<10*0,75+0,75

7,25<=k₀<8,25

Так, як число np-q дробове, то існує тільки одне к₀ ціле число

k₀=8

 

Приклад 3. Товарознавець оглядає 24 зразка товарів. Ймовірність того, що кожен із зразків буде визнаний придатним до продажу, дорівнює 0,6. Знайти найімовірніше число зразків, які товарознавець визнає придатними до продажу.

Розв’язок. За умовою задачі, n=24; p=0,6; q=0,4. Знайдемо наймовірніше число зразків, які придатні до продажу з нерівності:

.

,

або .

Так як np-q=14 – ціле число, то наймовірніших чисел два:

і