Закони розподілу.
Випадкова величина Х може набути значень
x0=0, x1=1, x2=2, ...xn=n
Ймовірності можливих значень xk випадкової величини Х обчислимо за біномною формулою:
pk=Pn(k)=Cnkpkqn-k, q=1-p
і одержимо закон розподілу описаної випадкової величини Х, який називається біномним
| X=xk | …. | n | |||
| p=pk | qn | Cn1pqn-1 | Cn2p2qn-2 | …. | pn |
Приклад 4. Пристрій складається з трьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови кожного елемента в одному випробуванні дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа відмовили елементів в одному досвіді.
Розв’язок. Дискретна випадкова величина X (число відмовили елементів в одному випробуванні) має наступні можливі значення:
х1 = 0 (жоден з елементів пристрою не відмовив),
х2 = 1 (відмовив один елемент),
х3 = 2 (відмовили два елементи) і
х4 = 3 (відмовили три елементи).
Відмови елементів незалежні один від іншого, ймовірності відмови кожного елемента рівні між собою, тому можна застосувати формулу Бернуллі. Враховуючи, що, за умовою, n = 3, р = 0,1 (отже, (q = 1-0,1 = 0,9), отримаємо:
Р3(0) =q3 = 0,93 = 0,729;
Р3(1) = C31 *p*q2= 3*0,1*0,92=0,243;
P3(2)=C32*p2*q=3*0,12*0,9=0,027
P3(3)= p3 =0,13 = 0,001.
Перевірка: 0,729+0,243+0,027+0,001 = 1.
Запишемо у вигляді таблиці біномний закон розподілу X:
| X | ||||
| P | 0,729 | 0,243 | 0,027 | 0,001 |
Якщо число випробувань велике, а ймовірність р появи події в кожному випробуванні дуже мала, то використовують наближену формулу:
Pn(k)=
Розподіл ймовірностей дискретної випадкової величини Х, яка набуває значень
xk: 0, 1, 2, …, n
з ймовірностями
pk=P{X=xk}= k=0, 1, 2, …, n
називається законом розподілу Пуассона, що залежить від параметра λ, λ>0.
Розподіл Пуассона записують у формі таблиці:
| X=xk | … | n | |||
| p=pk | e-λ | 
| 
| … | 
|
Приклад 5. Підручник видано тиражем 100 000 примірників. Ймовірність того, що підручник зброшурований неправильно, дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить рівно п'ять бракованих книг.
Розв’язок. За умовою, n = 100 000, р = 0,0001, k = 5. Події, що складаються в тому, що книги зброшуровані неправильно, незалежні, число n велике, а ймовірність р мала, тому скористаємося розподілом Пуассона pk=P{X=xk}= k=0, 1, 2, …, n
Знайдемо λ:
λ= nр = 100 000 * 0,0001 = 10.
Шукана ймовірність
P100 000 (5) = 105*e-10/5 =105 *0,000045/120 = 0,0375