Гамма-функция и ее свойства.

 

Определение 1. Несобственный интеграл

, (1)

где , называется эйлеровым интегралом 2-ого рода, а функция переменной z называется гамма-функцией Эйлера. При этом функция

(2)

называется неполной гамма-функцией.

Замечание.Проинтегрируем по частям интеграл (1)

.

Таким образом

. (3)

Т. к. , то из формулы (3) следует: , …

Таким образом (4)

Еще одно соотношение для функции :

. (5)

Поэтому при получим:

.

Далее, используя формулу (3), получим:

.

То есть . (6)

Замечание.Перепишем формулу (3) в виде

, (7)

что позволяет доопределить функцию для отрицательных значений z.

Рис.1 График функции Г(z).

Пример 1.Найти .

Решение.По формуле (6):

=.