Некоторые законы распределения времени наработки на отказ.

 

7.1.Экспоненциальный закон . Подробно рассмотрен в §§ 2, 3.

.

 

 

 

Рис. 2. Графики для .

 

7.2. Нормальный закон . Подробно рассмотрен в §§ 2, 3.

, ,

 

; ; .

 

 

 

 

Рис. 3. Графики для распределения .

 

7.3.Распределение Рэлея .

 

Определение 1. Случайная величина Т называется распределенной по закону Рэлея , если ее функция распределения

– параметр распределения. (1)

Замечание.– функция надежности, (2)

– функция плотности распределения вероятностей, (3)

– функция интенсивности отказов. (4)

 

 

Рис. 4. Графики для .

 

График в распределении прямо пропорционально зависит от t. Поэтому этот закон применяют для исследования систем с ярко выраженным эффектом старения.

Так как , то точка локального максимума для функции будет точкой перегиба для функции .

Найдем еще и . По формуле (9) § 3

, так как

- интеграл Пуассона.

Таким образом . (5)

По формуле (10) § 3

.

Таким образом . (6)

Пример 1.Время Т наработки системы на отказ распределено по закону . При этом интенсивность отказов при t=1000 час равна: .

Найти: 1) вероятность безотказной работы системы в течение 500 час;

2) ;

3) .

Решение.

. Тогда 1) .

2)

3) час.

7.4.Распределение Вейбулла.

Определение 2. Случайная величина Т называется распределенной по закону Вейбулла , если ее функция распределения

- (7)

параметры распределения, .

Замечание.- функция надежности, (8)

- (9)

функция плотности распределения вероятностей,

- функция интенсивности отказов. (10)

При становится экспоненциальным распределением .

При становится распределением Рэлея .

 

Рис. 5. Графики для распределения .

 

Рис. 6. Графики для распределения .

 

 

Рис. 7. Графики для распределения .

Найдем М(Т) и D(Т)

.

Таким образом . (11)

.

Таким образом . (12)

Пример 2.Время Т наработки системы на отказ распределено по закону Вейбулла . При этом интенсивность отказов в момент времени t=1000 час равна . Найти :

1) вероятность безотказной работы за это время.

2) .

Решение.1) По Формуле (10):

; ;

.

По формуле (8): .

.

2) По формуле (11):

.

Так как , то и

час.