Замечание. .

Теорема 1 (теорема Пуассона).Пусть СВ Х распределена по закону Бернулли с параметром р. Пусть , так что , тогда

. (10)

Замечание. Из теоремы 1 следует, что распределение Пуассона – предельный случай биномиального распределения при . Если n – велико, а р мало, то вместо формулы (8) для распределения B(n, p) используют формулу (9), где .

Пример 2.Радиоэлектронная система (РЭС) состоит из 200 узлов. Вероятность отказа каждого из них за время t равна 0,005. Найти 1) среднее число отказавших за время t узлов; 2) вероятность того, что за время t откажет менее 3-х узлов; 3) вероятность отказа хотя бы одного узла за время t.

Решение. Пусть СВ Х – число отказавших за время t узлов. Тогда

1) .

2) ; где . Поэтому .

3) .

Определение 4. Непрерывная СВ Т называется распределенной по нормальному закону , если ее функция плотности вероятностей

. (11)

Замечание. ;

; (12)

где – интегральная функция Лапласа:

. (13)

При этом – функция распределения СВ Х.

Если число испытаний n для СВ Х, распределенной по закону Бернулли B(n, p) велико, то используют приближенную формулу:

, (14)

где р – вероятность успеха в одном испытании, – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем .

Пример 3. Пусть СВ Т задает момент времени выхода из строя производимой детали; - равна вероятности того, что деталь откажет на промежутке . Предположим, что Т распределена по закону ; .

1) Найти вероятность того, что деталь проработает безотказно не менее 1250 час.

2) Вероятность того, что наработка на отказ будет находится в интервале .

3) Вероятность того, что безотказно проработав до 1250 ч, деталь безотказно проработает и до 1750 ч.

Решение. 1) Искомая вероятность равна вероятности того, что Т примет значение из промежутка .

.

2) По формуле (12):

.

3) Необходимо вычислить условную вероятность . Пусть событие А: Т > 1750, событие B: T > 1250. Тогда по формуле (2) § 1:

=

.

Замечание.СВ Т из примера 3 называется временем жизни или временем наработки на отказ.

Определение 5.Непрерывная СВ Х называется распределенной по экспоненциальному закону , если ее функция плотности вероятностей

(15)

где - параметр распределения.

Замечание. (16)

.

Пример 4.Время Т наработки элемента на отказ распределено по экспоненциальному закону . Найти вероятность безотказной работы элемента за 500 часов.

Решение..

Замечание. СВ Т в примерах 3 и 4 – время жизни элемента – непрерывна. Поэтому в примерах и всюду в дальнейшем : .

Пример 5. Вероятность безотказной работы изделия в течение 60 часов равна 0,9. Предполагается, что время жизни элемента распределено по экспоненциальному закону. Найти условную плотность вероятности того, что изделие откажет в момент времени t, при условии, что до этого изделие работало безотказно.

Решение. СВ Т – время жизни элемента; .

,

.

. Пусть .

Тогда

.

Тогда .