I. Символы исчисления высказываний состоят из знаков трех категорий:
1. а, b, с,d, е,f... и те же буквы с индексами а1 ,а2 ,... Эти символы называются переменными высказываниями, или пропозициональными переменными. С помощью этих символов записываются повествовательные предложения, выражающие суждения (высказывания).
2. Символы, обозначающие логические термины:—, ^, , ύ, ® º. Эти символы выражают следующие логические операции (логические связки): отрицание (“не”), конъюнкция (“и”), нестрогая дизъюнкция (нестрогое “или”), строгая дизъюнкция (строгое “или”), импликация (“если..., то”) эквиваленция (“если и только если, то...”). Подробнее об этих логических терминах см. на с. 26-27 этого учебника.
3. Скобки: ( ).
Иных символов, кроме указанных, исчисление высказываний не имеет.
II. Определение формулы (или правильно построенной формулы - ППФ).
1. Переменное высказывание есть формула (а, b, с ...).
2. Если А и В есть ППФ, то , (А^В), (АВ), (A ύ В), (АºB) и (А®В) есть ППФ. (Здесь буквы А, В, С... не являются символами исчисления высказываний. Они представляют собой только условные сокращенные обозначения формул).
Ничто иное не является формулой (ППФ).
Так, не являются формулами: (а ^ b ; а-b; ^ а; а®b; а ^ b ; а b . Первое из этих слов содержит незакрытую скобку. Второе и третье слова никак не могут быть построены на основании пункта 2. Четвертое слово не является формулой потому, что хотя а и b - формулы, но соединение формул связкой ® всегда сопровождается заключением в скобки; то же самое можно сказать и о двух последних словах.
Существуют правила опускания скобок. При этом исходят из того, что связка связывает сильнее, чем все остальные; связка ^ сильнее, чем ®. В силу этих правил формулу (а ^ b) c будем писать в виде а ^ b v с. Формулу (а b) ® (с ^ d ) будем писать в виде а v b®с ^ d.
Однако не всякая формула может быть записана без употребления скобок. Например, в формулах а ® (b ® с), а ^ (b®с) исключение скобок невозможно.
Для моделирования с помощью ЭВМ текстов естественного языка, включающих отрицание, возможно записать некоторые выражения на языке алгебры логики (А, В, С, D - высказывания, “+” - знак нестрогой дизъюнкции, “•” - знак конъюнкции, “-” -знак отрицания.
____________________________________________
'См.: Новиков П. С. Элементы математической логики. М., 1973. С. 68-71.
2См.: Ледли Р. Программирование и использование цифровых вычислительных машин.//Пер. с англ. М., 1966. С. 55. Ледли Р. пользуется иной символикой,
чем в нашей книге.