х | Nx |
1/2 | 1/2 |
[Nx] =1-[x]
'См.: Lukasiewicz J. О pojeciu mozliewosci //Buch Filozoficzny. Lwow. 1920. Vol. 5. № 9.
Конъюнкция определяется как минимум значений аргументов: [Кху] = min ( [х],[у]); дизъюнкция - как максимум значений х и у[Аху]=таx ([х],[у]).
Пользование таблицей для импликации Лукасевича, выраженной в форме х → у, происходит так. Слева в первой колонке написаны значений длях, а сверху - значения для у. Возьмем, например [х] = 1/2 (т. е. значение для х, равное 1/2 ), а [у] = 0, получаем импликацию 1/2→ 0. На пересечении получаем результат 1/2 .
Если в формулу входит одна переменная, как, например, в случае формулы a, то таблица истинности для этой формулы, включающая все возможные значения истинности, или ложности, или неопределенности ее переменной в таблице, будет состоять из 3' = 3 строки; при двух переменных в таблице будет 32 = 9 строк; при трех переменных в таблицеимеем З3 = 27 строк; при n переменных будет 3n строк.
Покажем, как происходит доказательство для формул a(закон исключенного третьего) и для ( закон непротиворечия), содержащих одну переменную, т. е. а. В таблице будет всего 3' = 3 строки.
a | a | a ^ | ||
1/2 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | 1/2 |
Для доказательства формулы aиспользуем знание о том, что дизъюнкция берется по максимуму. В третьей колонке, соответствующей a, видим, что вместе со значениями 1 есть значение 1/2 . Следовательно, эта формула не есть закон логики. Аналогично строятся колонки 4 и 5, только соблюдая условие, что конъюнкция берется по минимуму значений. Формула также не является законом логики.
Теперь посмотрим, является ли законом логики формула (х → (^ у)) →, содержащая две переменные х и у В таблице будет З2 = 9 строк. Распределение значений истинности для х и у показано в первой и второй колонках.
Вывод: так как в последней колонке встречается два раза значение неопределенности (т. е. 1/2), то данная формула не является законом логики.
На основе данных определений отрицания, конъюнкции и дизъюнкции Лукасевича не будут тавтологиями (законами логики) закон непротиворечия и закон исключенного третьего двузначной логики. В системе Лукасевича не являются тавтологиями и отрицания законов непротиворечия и исключенного третьего двузначной логики. Поэтому логика Лукасевича не является отрицанием двузначной логики. В логике Лукасевича тавтологиями являются: правило снятия двойного отрицания, все четыре правила де Моргана и правило контрапозиции: а → b →. Не являются тавтологиями правила приведения к абсурду двузначной логики; (х → ) → и (х→ (^ у)) → (т. е. если из х вытекает противоречие, то из этого следует отрицание х). Это было доказано (см. таблицу 3).