Формула Тейлора для произвольной функции

Рассмотрим функцию y=f(x). Формула Тейлора позволяет, при определённых условиях, приближенно представить данную функцию в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и имеет в точке x₀ производные всех порядков до n+1-го включительно, тогда для любого х из этой окрестности найдётся точка сÎ(х₀; х) такая, что справедлива формула:

 

Эту формулу можно записать в виде:

где — называется многочленом Тейлора,

а остаточным членом формулы Тейлора записанным в форме Лагранжа;

 

R_n(х) есть погрешность приближенного равенства ƒ(х)≈Р_n(х). Таким образом, формула Тейлора даёт возможность заменить функцию y=f(x) многочленом y=Р_n(х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена R_n(х).

 

При х₀=0 получаем частный случай формулы Тейлора — формулу Маклорена:

где 0<c<x.