Задачи замены оборудования без приведения затрат к текущему моменту времени.

1) Постановка задачи:

В эксплуатации находятся оборудование, цена нового оборудования S. Известны затраты на эксплуатацию оборудования С _t зависящие от времени. В результате старения балансовая цена оборудования S _t падает и зависит от периода списания t. Требуется определить период списания оборудования t , чтобы затраты на единицу времени были минимальными.

 

2) Формализованное описание задачи:

S – цены нового оборудования;

C _t – затраты на эксплуатацию оборудования;

S _t – балансовая цена оборудования;

 

Возможные варианты:

а) если эксплуатационные затраты дискретны и производятся в начале каждого t-го периода:

С₁, С₂, С₃, . . . , С_t (C _i < C _i+1) причем балансовая стоимость S_t также дискретна: S ₁, S₂, S₃, . . . , S _t (S _I > S _i+1)

 

б) если эксплуатационные затраты и балансовая цена непрерывны:

S _t - есть некоторые функции от времени

При этом ограничимся рассмотрением трех случаев, когда:

 

б₁) С_t и S _t - линейные функции.

 

б₂) С_t и S _t - квадратичные функции.

 

б₃) С_t и S _t - экспоненциальные функции.

 

3) Построение математической модели:

Средние суммарные затраты равны: средние затраты эксплуатации плюс средние затраты на потери балансовой стоимости. Учитывая, что b₀ = S^’, получим:

t

а) y(t) = ( ∑ C _i + S – S_t ) / t ;

i=1

 

б₁) y(t) = (a₁t + S – b₀ – b₁t) / t = a₁ – b₁

 

б₂) y(t) = (a₁t + a₂t² + S – b₀ – b₁t – b₂t²) / t = (a₁ – b₁) + t(a₂ – b₂)

 

б₃) y(t) = (a₀ (e ^{μ t} - 1) + S – b₀ e ^{λ t})) / t = (a₀ ( e ^{μ t} - 1) + S^’(1 – e ^{- λ t})) / t

 

4) Исследование математической модели:

Рассмотрим вcе вышеуказанные случаи:

Чтобы затраты при замене оборудования через t периодов были наименьшими, то должно выполняться условие:

y(t - 1) > y(t) < y(t +1) (1)

 

t+1 t t

y(t+1) = (S + ∑C _i – S _{t + 1}) / t + 1 = (S + ∑C _i + C _{t + 1} – S _{t + 1}) / t + 1 > (S + ∑C _i – S _t ) / t = y(t)

i=1 i=1 i=1

 

t-1 t t

y(t-1) = (S + ∑C _i – S _{t - 1}) / t + 1 = (S + ∑C _i - C _t – S _{t - 1}) / t + 1 > (S + ∑C _i – S _t ) / t = y(t)

i=1 i=1 i=1

 

После окончательных преобразований получим

C_t + S _{t – 1} – S _t < y(t) < C _{t + 1} – S _{t + 1} + S _t

Это условие является необходимым условием оптимальности, а т.к. C _{t + 1} > C_t и S _{t + 1} < S _t , то написанное условие является еще и достаточным.

 

б₁) dy/dt = 0 y = const - оптимального периода списания нет

б₁) dy/dt = a₂ – b₂ = const – оптимального периода списания нет, оборудование можно менять в любое время.

б₁) dy/dt = ( t (a₀ μ e ^{μ t} + S λ e ^{- λ t}) - a₀ (e ^{μ t} - 1) - S (1 – e ^{– λ t})) / t ² = 0

 

После соответствующих преобразований получим

 

a₀ ( t μ e ^{μ t} - e ^{μ t} + 1 ) = S ( 1 - t λ e ^{- λ t} - e ^{– λ t})

 

Решать это уравнение целесообразно графически, обозначение через у₁ и y₂ соответственно левую и правую часть равенства.

 

 

 

Точка пересечения у₁ и y₂ дает искомое время t, при котором необходимо произвести замену оборудования.