Геометрические уравнения Коши

Из уравнений Коши (3.2) видно, что в произвольной точке стержня три компоненты деформации не равны нулю

(4.4)

а остальные три компоненты равны нулю

(4.5)

Вследствие того, что компоненты перемещений (4.3) не зависят от переменной z, то компоненты деформаций (4.4) и напряжений будут также функциями только двух переменных .

 

Физические уравнения – закон Гука

(4.6)

Из третьего уравнения в первом столбце (4.6) найдем напряжение

(4.7)

Исключим из уравнений (4.6)

Аналогично

Примем обозначения

Тогда

(4.8)

Отметим, что

Статические уравнения Навье

Из дифференциальных уравнений равновесия внутри тела (3.1) остается два:

(4.9)

Третье уравнение (3.1) обращается в тождество, т. к. входящие в него напряжения имеют следующий вид:

(4.10)

а интенсивность объемных нагрузок, параллельных оси z, равна нулю, т. е. .

Три уравнения равновесия на поверхности тела (3.6), учитывая, что для боковой поверхности и выполняется условие (4.10), превращаются в два условия:

(4.11)

Итак, восемь уравнений (4.4), (4.8), (4.9) содержат восемь неизвестных функций:

Три компоненты деформации выражаются через две функции . Следовательно, они не могут выбираться произвольно и должны удовлетворять уравнениям сплошности деформаций Сен-Венана (3.3). Дважды дифференцируя первое уравнение (4.4) по , а второе – по , а затем складывая их, получим

которое, если учесть третье уравнения (4.4), является одним из шести условий сплошности Сен-Венана

(4.12)

Из шести условий сплошности (неразрывности деформаций) Сен-Венана остаётся только уравнение (4.12), а остальные тождественно удовлетворяются. Для тела, подчиняющегося закону Гука (4.8), это условие можно выразить в напряжениях:

(4.13)

где называется оператором Лапласа или гармоническим оператором.

Если ограничиться исследованиями задач, в которых объемные силы не зависят от координат, то условие сплошности (4.13) упрощается и принимает вид:

(4.14)

Таким образом, для трех компонент напряжений при плоской деформации в случае объемных нагрузках имеем три уравнения:

(4.15)

Для цилиндрического тела большой длины, к которому приложены нагрузки (4.1) и (4.2), решение задачи о плоской деформации имеет значение даже и в том случае, если концы стержня будут перемещаться в направлении оси .

Действительно, если определены напряжения в сечениях стержня при , то можно определить главный вектор и главный момент внешних сил, приложенных к торцам. Теперь наложим на решение, соответствующее плоской деформации, решение задачи методами сопротивления материалов под действием сил, равных по величине и противоположных по направлению главному вектору и главному моменту сил, возникающих при плоской деформации, на торцах.

Очевидно, что при этом получаем решение задачи о напряжениях в теле, к которому приложены нагрузки по боковой поверхности (4.1) и по объему (4.2), а на торцах нагрузки статически эквивалентны нулю. Согласно принципу Сен-Венана для достаточно длинного тела на участках, удаленных от торцов, полученное решение будет справедливо и в том случае, если торцы тела будут свободны и от закреплений, и от нагрузок.