Исследование напряженно-деформированного состояния

 

1. Задача 1

"Исследование напряженно-деформированного состояния

в точке тела"

Цель решения этой задачи – усвоение основ теории напряжений и деформаций.

Полагаем, что напряженно-деформированное состояние тела было определено расчетами или экспериментально.

 

Напряженное состояние в точке тела

Условие задачи. Компоненты напряжений, действующие по граням параллелепипеда, равны следующим величинам: (1.1) Эти компоненты напряженного состояния показаны на рис. 1 с учетом правила знаков, принятого в теории упругости (см.…

Полное, нормальное и касательные напряжения

На наклонной площадке

(1.2) Затем находим величину полного напряжения: (1.3)

Вычисление проекции касательного напряжения

На заданное направление

Вначале определяются проекции полного напряжения на оси и в виде и (рис. 4). Затем угол между касательным напряжением и, например, осью найдем по формуле …

Главные напряжения,

Определение положения главных площадок

В окрестностях любой точки нагруженного тела всегда имеются три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения обращаются в… Полные напряжения, действующие по множеству площадок, проходящих в окрестности… (1.12)

Деформированное состояние в точке тела

Связь между деформациями и напряжениями определяется линейными соотношениями обобщенного закона Гука: (1.22)

Задача 3

"Обратный метод решения задач в теории упругости.

Определение нагрузок, приложенных к телу"

Основные уравнения теории упругости

(3.1) При выводе уравнений (3.1) использованы допущения о сплошности материала и… 2) Геометрические уравнения (соотношения между деформациями и перемещениями – уравнения Коши)

Пример решения задачи

Постановка задачи

Рассматривается стержень круглого поперечного сечения диаметром (рис. 12).

При нагружении в результате деформаций точки стержня получат перемещения

(3.7)

где – соответственно модуль Юнга коэффициент Пуассона.

Требуется определить:

поверхностные и объемные нагрузки, приложенные к этому стержню;

кинематические граничные условия, препятствующие перемещению стержня как абсолютно твердого тела.

 

Определение компонентов деформаций

;

Определение компонент напряжений

Итак,

Определение объемных нагрузок

Составляющие объемной силы входят в дифференциальные уравнения равновесия (3.1). Подставляем в уравнения (3.1) вычисленные значения компонентов напряжений

Следовательно, при заданных перемещениях объемные нагрузки на стержень не действуют.

 

Определение поверхностных нагрузок

На боковой поверхности стержня вокруг произвольной точки с координатами выделим площадку, ориентацию которой относительно осей координат зададим… (3.9) Подставим в (3.6) найденные компоненты напряжения

Выводы

1. Из рисунка 14 видно, что перемещения (3.7) вызваны сжатием стержня продольными внешними нагрузками, равномерно распределенными по торцам.

2. Перемещения (3.7) обращаются в ноль при Следовательно, стержень закреплен от перемещений как абсолютно твердого тела только в точке пересечения левого торца с осью стержня.

 

 

Задача 4

«Плоская задача теории упругости. Функция напряжений»

При проектировании сооружений возникает большой класс задач, в которых одну из трех прямоугольных координат можно отбросить, и решение задач рассматривать как бы в одной плоскости. Этот класс задач носит название плоской задачи теории упругости. Под плоской задачей теории упругости понимают две различные задачи:

1. Задачу о плоском деформированном состоянии (или о плоской деформации).

2. Задачу о плоском напряженном состоянии.

Обе задачи различны по постановке. Однако если в качестве основных неизвестных выбрать напряжения, то математический аппарат решения обеих задач одинаков. Характерно для этих задач следующее:

1. Число неизвестных равно 3.

2. Все неизвестные являются функциями не трех, а двух координат.

 

Плоская деформация

Рассмотрим стержень постоянного поперечного сечения, длина которого в направлении, например, вдоль оси z велика по сравнению с размерами вдоль осей… (4.1) (4.2)

Геометрические уравнения Коши

(4.4) а остальные три компоненты равны нулю (4.5)

Плоское напряженное состояние

  Тогда, как и в случае плоской деформации, возможно упрощение основных… Поскольку поверхностные нагрузки по боковым плоскостям отсутствуют, то и компоненты напряжения по этим поверхностям…

Функция напряжений

При решении уравнений (4.24а) и (4.24б) вводится новая функция, называемая функцией напряжений, которая была предложена Эри. Уравнения (4.24а)… (4.25) Таким образом, получают множество решений уравнений (4.24а).

Изгиб прямоугольной полосы

Под действием поверхностной нагрузки

Постановка задачи

  Поскольку и толщина мала по сравнению с высотой , то напряженное состояние… По торцам действуют касательные нагрузки, равные , а вопрос о распределении касательных нагрузок по торцам будет…

Решение задачи

и статическим граничным условиям (4.20) на контуре полосы

Решение задачи

Методами сопротивления материалов

Рассмотрим решение задачи об изгибе балки равномерно распределенной нагрузкой элементарными методами сопротивления материалов (рис. 21).

Из курса сопротивления материалов известно, что

(4.44)

Методами сопротивления материалов найдем внутренние усилия в поперечном сечении балки, показанной на рисунке 22:

изгибающий момент

поперечная сила

статический момент отсеченной части сечения

Следовательно, для напряжений (4.44) получим следующие окончательные формулы:

(4.45)

Анализ полученных решений

1. Касательные напряжения , определяемые методами сопротивления материалов и теории упругости, полностью совпадают. Распределение этих напряжений по… 2. Выражение для напряжения , полученное методами теории упругости, состоит из… первое слагаемое (основное слагаемое)

Изгиб прямоугольной полосы

Под действием собственного веса

Постановка задачи

(4.48) Кроме того, на торцах приложены нагрузки, сводящиеся к парам сил с моментом…  

Решение задачи

. (4.49) Убедимся вначале: что при помощи этой функции можно описывать напряженное… .

Решение задачи методами сопротивления материалов

Решение в элементарной теории изгиба, как и в предыдущей задаче, имеет следующий вид (4.63) где поперечная сила и изгибающий момент определяются соответственно по формулам:

Анализ полученных решений

2. Выражение для напряжения из соотношений (4.62) можно представить в виде суммы двух слагаемых: первое (основное) слагаемое (4.68)