Положение центра масс

Математическая техника вычисления центра масс относится к области курсов математики; там подобные задачи служат хорошими примерами по интегральному исчислению. Но, даже умея интегрировать, полезно знать некоторые трюки для вычис­ления положения центра масс. Один из таких трюков основан на использовании так называемой теоремы Паппа, которая ра­ботает следующим образом. Если мы возьмем какую-то замк­нутую фигуру и образуем твердое тело, вращая эту фигуру в пространстве так, чтобы каждая точка двигалась перпендику­лярно к плоскости фигуры, то объем образующегося при этом тела равен произведению площади фигуры на расстояние, прой­денное ее центром тяжести! Разумеется, эта теорема верна и в том случае, когда плоская фигура движется по прямой линии, перпендикулярной к ее площади, однако если мы движем ее по окружности или какой-то другой кривой, то при этом получа­ется гораздо более интересное тело. При движении по кривому пути внутренняя часть фигуры продвигается меньше, чем внеш­няя, и эти эффекты компенсируют друг друга. Так что если мы хотим определить центр масс плоской фигуры с однородной плотностью, то нужно помнить, что объем, образуемый враще­нием его относительно оси, равен расстоянию, которое проходит

Например, если нам нужно найти центр масс прямоуголь­ного треугольника с основанием D и высотой H (фиг. 19.2), то это делается следующим образом.

 

 

Фиг. 19.2. Прямоугольный тре­угольник и прямой круговой конус, образованный вращением этого треугольника.

 

Вообразите себе ось, про­ходящую вдоль H, и поверните треугольник на 360° вокруг этой оси. Это дает нам конус. Расстояние, которое проходит x-координата центра масс, равно 2pх, а площадь области, кото­рая двигалась, т. е. площадь треугольника, равна ¹/₂HD. Произведение расстояния, пройденного центром масс, на пло­щадь треугольника равно объему конуса, т. е. ¹/₃pD²H. Таким образом, (2pх)(¹/₂HD)=¹/₃pD²H, или x=D/3. Совершенно аналогично вращением вокруг второго катета или просто по соображениям симметрии находим, что у=Н/3. Вообще центр масс любого однородного треугольника находится в точке пере­сечения трех его медиан (линий, соединяющих вершину тре­угольника с серединой противоположной стороны), которая от­стоит от основания на расстоянии, равном ¹/₃ длины каждой медианы.

Как это увидеть? Рассеките треугольник линиями, парал­лельными основанию, на множество полосок. Заметьте теперь, что медиана делит каждую полоску пополам, следовательно, центр масс должен лежать на медиане.

Возьмем теперь более сложную фигуру. Предположим, что требуется найти положение центра масс однородного полукруга, т. е. круга, разрезанного пополам. Где будет находиться центр масс в этом случае? Для полного круга центр масс расположен в геометрическом центре, но для полукруга найти его положе­ние труднее. Пусть r — радиус круга, а x — расстояние центра масс от прямолинейной границы полукруга. Вращая его вокруг этого края как вокруг оси, мы получаем шар. При этом центр масс проходит расстояние 2pх, а площадь полукруга равна ¹/₂pr² (половине площади круга). Так как объем шара равен, конечно, 4pr³/3, то отсюда находим

или

 

Существует еще другая теорема Паппа, которая фактически является частным случаем сформулированной выше теоремы, а потому тоже справедлива. Предположим, что вместо твердого полукруга мы взяли полуокружность, например кусок прово­локи в виде полуокружности с однородной плотностью, и хотим найти ее центр масс. Оказывается, что площадь, которая «заме­тается» плоской кривой при ее движении, аналогичном выше­описанному, равна расстоянию, пройденному центром масс, умноженному на длину этой кривой. (Кривую можно рассмат­ривать как очень узкую полоску и применять к ней предыдущую теорему.)