СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Глава 15 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Принцип относительности

Второй закон Ньютона, выражаемый урав­нением безмолвно предполагал, что m — величина постоянная. Но теперь мы знаем, что это не так, что масса тела возрастает со…

Преобразование Лоренца

Между тем Лоренц заметил одно замечательно любопыт­ное явление: когда он делал в уравнениях Максвелла под­становку то форма уравнений после подстановки не менялась! Урав­нения (15.3) теперь называют преобразованием Лоренца. А…

Опыт Майкелъсона— Морли

Фиг. 15.2. Схема опыта Майкельсона — Морли. Для опыта Майкельсона — Морли использовался прибор, схема которого показана на фиг. 15.2. Главные части при­бора:…

Преобразование времени

! наблюдателя, пройдет 1/Ö(1-u2/с2) сек. Замедление хода часов в движущейся системе — явление весьма своеобразное, и… можно будет сказать, кто из них двигался на самом деле. Так что же происходит в движущихся часах? Входя на борт…

Лоренцево сокращение

 

Одновременность

    Это явление можно назвать «нарушением одновременности удаленных событий». Чтобы пояснить его, рассмотрим сле­дующий…

Четырехвекторы

т. е. новое х' перемешивает старые х и y, а у' тоже их переме­шивает.…  

Релятивистская динамика

F=d(mv)/dt Импульс по-прежнему равен mv, но теперь  

Связь массы и энергии

mc2=m0с2+1/2m0v2+... . (15.12) Здесь левая часть дает полную энергию тела, а в последнем члене справа мы… К каким следствиям мы придем, если вслед за Эйнштейном предположим, что энергия тела всегда равна тс2? Тогда мы сможем…

Правда, видимый свет проиграет гонку из-за преломления в воз­духе. А g-излучение ее, несомненно, выиграет.

Выпуск 1

 

 

Глава 16

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭНЕРГИЯ И РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ИМПУЛЬС

 

§ 1. Относитель­ность и «фило­софы»

Парадокс близнецов

Преобразование скоростей

Релятивистская масса

Релятивистская энергия

§ 1. Относительность и «философы» В этой главе мы продолжим обсуждение принципа относительности Эйнштейна —… Пуанкаре следующим образом сформулиро­вал принцип относительности: «Согласно прин­ципу относительности, законы…

Парадокс близнецов

Но ведь чтобы встретиться и помериться годами, Пауль должен либо остановиться в конце путешествия и сравнить часы, либо, еще проще, вернуться. А… Поэтому можно высказать такое правило: тот, кто почув­ствовал ускорение, кто…

Преобразование скоростей

Правильный закон преобразований (Лоренца) таков: Эти уравнения отвечают сравнительно простому случаю, когда наблюдатели… Рассмотрим теперь дальнейшие следствия этого преобра­зования. Прежде всего интересно разрешить эти уравнения…

Релятивистская масса

законы преобразования силы, обратимся к столкновениям частиц. Здесь нам не понадобится закон действия силы, а хватит только предположения о… p=m0v. (16.8) Индекс v у коэффициента будет напоминать нам, что это функция скорости v. Будем называть этот коэффициент «мас­сой».…

Релятивистская энергия

Потом мы продвинулись дальше и обнаружили, что полная энергия тела равна полной его массе, умноженной на с2. Про­должим эти рассуждения. Предположим, что наши два тела с равными массами (те, которые столкнулись)… Отсюда вытекают интересные следствия. Пусть имеется тело с измеренной массой М, и предположим, что что-то стряс­лось и…

Глава 17

ПРОСТРАНСТВО - ВРЕМЯ

 

Геометрия пространства-времени

Пространственно-временные интервалы

Прошедшее, настоящее, будущее

Еще о четырехвекторах

Алгебра четырехвекторов

 

Геометрия пространства-времени

Координаты и время (х, y, z, t), измеренные «покоящимся» наблюдателем, преобразуются в координаты и время (х', y', z', t'), измерен­ные внутри… Давайте сравним эти уравнения с уравнением (11.5), которое тоже связывает… х'=хcosq+ysinq,

Пространственно-временные интервалы

с2t'2-х'2-у'2-z'2=c2t2-х2-y2-z2. (17.3) Поэтому эта величина, подобно расстоянию, «реальна» в том смысле, который был… Давайте избавимся от с, оно нам не нужно, если мы хотим иметь удобное пространство, в котором х и t можно…

Прошедшее, настоящее, будущее

  Фиг. 17.3. Область простран­ства-времени, окружающая начало координат.  

Еще о четырехвекторах

Теперь мы спросим: существуют ли величины, которые пре­образуются при переходе от неподвижной системы к движу­щейся так же, как и х, у, z, t? Наш… Итак, уравнения для энергии и импульса имеют вид  

Алгебра четырехвекторов

Конечно, можно пользоваться любыми обозначениями. Не улыбайтесь, что мы так много говорим об обозначениях; учи­тесь изобретать их: в них вся сила.… Итак, Аm — это общий четырехвектор, рm — четырехимпульс, pt — энергия, рх—… Если четырехвекторы связаны каким-то уравнением, то это значит, что уравнение выполняется для любой компоненты.…

Глава 18

ДВУМЕРНЫЕ ВРАЩЕНИЯ

Центр масс

Вращение твердого тела

Момент количества движения

Закон сохранения момента количества движения

 

Центр масс

Что это за более сложные объекты, с кото­рыми мы будем иметь дело в дальнейшем? Это может быть течение воды, вращение галактик и т. д. Но сначала… К первой интересной теореме о движении сложного тела можно прийти следующим… Это так называемая теорема о центре масс, и доказывается она следующим образом.

Вращение твердого тела

Чтобы описать вращение, измерим угол, на который пово­рачивается тело. Разумеется, речь идет не об угле между двумя точками внутри самого тела или… Сначала давайте разберемся с кинематикой вращения. Изменение угла со временем… Теперь нам следует связать динамику вращения с дина­микой частиц, из которых сделано тело, т. е. выяснить, как…

Момент количества движения

   

Закон сохранения момента количества движения

  С непривычки может показаться, что полный момент сил — ужас­но сложная штука. Ведь нужно учитывать все внутренние и…

Глава 19

ЦЕНТР МАСС; МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

Свойства центра масс

Положение центра масс

Вычисление момента инерции

Кинетическая энергия вращения

 

Свойства центра масс

Положение центра масс (сокращенно ц. м.) определяется уравнением   Это, разумеется, векторное уравнение, т. е. фактически три уравнения — по одному для каждого из трех направлений. Но…

Положение центра масс

Например, если нам нужно найти центр масс прямоуголь­ного треугольника с основанием D и высотой H (фиг. 19.2), то это делается следующим образом. …    

Вычисление момента инерции

   

Кинетическая энергия вращения

    а поскольку w — постоянная, одна и та же для всех точек, то

Глава 20

ВРАЩЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

 

Моменты сил в трехмерном пространстве

Уравнения вращения в векторном виде

Гироскоп

Момент количества движения твердого тел

 

 

Моменты сил в трехмерном пространстве

Прежде всего хочу отметить, что для враще­ния в трех измерениях твердого тела или како­го-то иного объекта остается верным все, что мы получили для… zFx-xFz=d/dt(zpx-xpz). Совершенно ясно, что для движения одной частицы мы получаем и три уравнения для трех плоскостей. Более того, если мы…

Уравнения вращения в векторном виде

t=rXF. (20.11) Это просто краткая запись трех уравнений: тx=yFz-zFy и т. д. С помощью того же… L=rXp.(20.12)

Гироскоп

   

Момент количества движения твердого тела

Главное из них: момент количества движения твердого тела не обязательно направлен в ту же сторону, что и уг­ловая скорость. Рассмотрим колесо,…   Фиг. 20.6. Момент количества движения вращающегося тела не обязательно параллелен угловой скорости.

Что это действительно так, доказывается с помощью рассмотрения перемещения частиц твердого тела за бесконечно малый промежуток вре­мени Dt. Это не самоочевидно, и я предоставляю тем, кто интересуется, доказать это.

 

 

Глава 21

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

 

Линейные дифференциаль­ные уравнения

Гармонический осциллятор

Гармоническое движение и движение по окружности

Начальные условия

Колебания под действием внешней силы

 

Линейные дифференциальные уравнения

Гармонический осциллятор, к изучению ко­торого мы сейчас переходим, будет встречаться нам почти всюду; хотя мы начнем с чисто меха­нических…   называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами (все аn — посто­янные).

Гармонический осциллятор

  Фиг. 21.1. Грузик, подвешенный на пружинке. Простой пример гармонического ос­циллятора.

Гармоническое движение и движение по окружности

  Фиг. 21.2. Частица, движу­щаяся по кругу с постоянной скоростью.

Начальные условия

х=Acoswot+Bsinw0t; поскольку нам понадобится и скорость, продифференцируем х и получим v=-w0Asinw0t+w0Bcosw0t.

Колебания под действием внешней силы

md2x/dt2=-kx+F(t). (21.8) Давайте подумаем, как будет вести себя грузик при этих об­стоятельствах.… F(t)=F0coswt. (21.9)

Глава 22

АЛГЕБРА

 

Сложение и умножение

Обратные операции

Шаг в сторону и обобщение

Приближенное вычисление иррациональ­ных чисел

Комплексные числа

Мнимые экспоненты

 

Сложение и умножение

Вы можете спросить: «Зачем нужна матема­тика в книге по физике?» Вот несколько ува­жительных причин: прежде всего математика— очень важный рабочий… Еще одна причина, по которой следует за­няться поглубже алгеброй: хотя многие… То, чем мы займемся, с точки зрения математики, не будет настоящей алгеброй. Математик главным образом интересуется…

Обратные операции

Кроме прямых операций сложения, умножения и возведе­ния в степень, существуют обратные операции. Их можно определить так. Предположим, что нам заданы а и с; как найти b, удовлетворяющее уравнениям а+b=с, ab=c, b^a=с? Если а+b=с, то b определяется при помощи вычитания: b=с-а. Столь же проста операция деления: если ab=c, то b=с/а; это решение уравнения ab=c «задом наперед». Если вам встретится степень: b^a=с, то надо запомнить, что b называется корнем а-й степени из с. Например, на вопрос: «Какое число, будучи возведенным в куб, дает 8?» — следует отвечать: «Кубический ко­рень из 8, т. е. 2». Обратите внимание, что, когда дело доходит до степени, появляются две обратные операции. Действительно, ведь раз а^b и b^а— различные числа, то можно задать и такой вопрос: «В какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8?» В этом случае приходится брать логарифм. Если а^b=с, то b=log_ac. He надо пугаться громоздкой записи числа b в этом слу­чае; находить его так же просто, как и результаты других обрат­ных операций. Хотя логарифм «проходят» гораздо позже корня, это такая же простая вещь: просто-напросто это разного сорта решения алгебраических уравнений. Выпишем вместе прямые и обратные операции:

 

 

 

В чем же идея? Выписанные соотношения верны для целых чисел, потому что они выводятся из определений сложения, ум­ножения и возведения в степень. Подумаем, нельзя ли расши­рить класс объектов, которые по-прежнему будут обозначаться буквами а, b и с и для которых по-прежнему будут верны все сформулированные нами правила, хотя сложение уже нельзя будет понимать как последовательное увеличение числа на единицу, а возведение в степень — как последовательное пе­ремножение целых чисел.

Шаг в сторону и обобщение

Мы значительно расширили область действия наших пра­вил, но достигли этого ценой изменения смысла символов. Уже нельзя, например, сказать, что умножить 5 на -2 - значит сложить 5 минус… Возведение в степень приносит новые хлопоты. Кто-нибудь обязательно захочет узнать, что означает символ а(3-5). Мы…

Приближенное вычисление иррациональных чисел

Вычисление квадратных корней, кубичных корней и других корней невысокой степени — вполне доступный нам арифмети­ческий процесс; вычисляя, мы… Хотя вычисление собранных в таблицы значений — проце­дура чисто техническая, а… вычислим не только x=10 V2 , но решим и другую задачу: 10x=2, или x=log102. При решении этих задач мы не откроем новых…

Комплексные числа

(r+is)(p+iq)=rp+r(iq)+(is)p+(is)(iq)=rp+i(rq)+i(sp)+(ii)(sq)=(rp-sq)+i(rq+sp), (22.4) потому что ii=i2=-1. Теперь мы получили общее выражение для чисел,… Умудренные опытом, полученным в предыдущих разделах, вы скажете: «Рано говорить об общем выражении, надо еще…

Квадратный корень лучше всего извлекать не тем способом, кото­рому обычно учат в школе, а немного иначе. Чтобы извлечь квадратный корень из числа N, выберем достаточно близкое к ответу число а, вы­числим N/a и среднее а'=1/2[а+(N/а)]; это среднее будет новым числом а, новым приближением корня из N. Этот процесс очень быстро приводит к цели: число значащих цифр удваивается после каждого шага.

 

 

Глава 23

РЕЗОНАНС

 

Комплексные числа и гармоническое движение

Вынужденные колебания с торможением

Электрический резонанс

Резонанс в природе

 

Комплексные числа и гармоническое движение

  Фиг. 23,1. Комплексное число, изображенное точкой на «комплек­сной плоскости».

Вынужденные колебания с торможением

Сделать это обычно довольно трудно, потому что силы тре­ния очень сложны. Однако во многих случаях можно считать, что сила трения пропорциональна… Мы уже проделывали такой фокус, когда заменяли k на mw20, чтобы упростить…  

Электрический резонанс

Итак, о трех элементах цепи. Первый называется емкостью (фиг. 23.4); в качестве примера емкости могут служить две ме­таллические пластинки,… Фиг. 23.4. Три пассивных элемента цепи.

Резонанс в природе

Первые два относятся к механике. Самый первый грандио­зен — речь идет о колебаниях атмосферы. Если бы атмосфера, ко­торая, по нашим представлениям,…  

Глава 24

ПЕРЕХОДНЫЕ РЕШЕНИЯ

 

Энергия осциллятора

Затухающие колебания

Переходные колебания в электрических цепях

Энергия осциллятора

Чему равна кинетическая энергия осцил­лятора? Она пропорциональна квадрату скоро­сти. Здесь мы затронули важный вопрос. Пред­положим, что мы изучаем… Действительная часть квадрата комплексно­го числа не равна квадрату… Итак, истинно физическая величина А — это действительная часть A0exp[i(wt+D)], т. е.

Затухающие колебания

  Уравнение это приближенное, потому что оно справедливо только для больших Q.…  

Переходные колебания в электрических цепях

  Фиг. 24,2. Электрическая цепь для демонстраций переходных колебаний.

Глава 25

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЗОР

 

Линейные дифференци­альные уравнения

Суперпозиция решений

Колебания в линейных системах

Аналогии в физике

Последовательные и параллельные сопротивления

 

Линейные дифференциальные уравнения

  Эта комбинация «операций» над переменной х обладает интересным свойством:…  

Суперпозиция решений

L(xa+xb)=L(xa)+L(xb)=Fa(t)+Fb(t). (25.8) Это пример того, что называют принципом суперпозиции для линейных систем, и…

Колебания в линейных системах

  Во-первых, если мы имеем дело только с пружинкой и грузи­ком, то легко понять,… Что случится потом, после многих циклов? Это зависит от ха­рактера и величины трения. Предположим, что мы придумали…

Аналогии в физике

Возьмем для примера простейшее устройство. Приложим к куску проволоки (сопротивлению) разность потенциалов V. Это значит, что если от одного конца… V=IR=R(dq/dt), (25.11) Коэффициент R называют сопротивлением, а само уравнение— законом Ома. Единица сопротивления — ом; он равен отноше­нию…

Последовательные и параллельные сопротивления

Предположим, что нужно собрать более сложную цепь из двух кусков, импедансы которых равны Z1 и Z2; соединим их по­следовательно (фиг. 25.6, а) и… Фиг. 25.6. Импедансы, соеди­ненные последовательно (а) и па­раллельно (б).