Моменты сил в трехмерном пространстве

В этой главе мы рассмотрим одно из наи­более замечательных и забавных следствий за­конов механики — поведение крутящегося колеса. Для этого нам прежде всего нужно расширить математическое описание вращения, понятие момента количества движения, момента силы и т. д. на трехмерное пространство. Од­нако мы не будем использовать эти уравнения во всей их общности и изучать все следствия, ибо это займет многие годы, а нас ждут другие разделы, к которым мы вскоре должны перейти. В вводном курсе можно остановиться только на основных законах и их приложениях к весьма ограниченному числу особенно интересных слу­чаев.

Прежде всего хочу отметить, что для враще­ния в трех измерениях твердого тела или како­го-то иного объекта остается верным все, что мы получили для двух измерений. Иначе говоря, xF_y-yF_x так и остается моментом силы «в пло­скости ху», или моментом силы «относительно оси z». Остается справедливым также, что этот момент силы равен скорости изменения вели­чины хр_y-ур_х; если вы вспомните вывод урав­нения (18.15) из законов Ньютона, то увидите, что фактически мы не использовали того обсто­ятельства, что движение плоское, и просто диф­ференцировали величину хр_у-ур_х и получали xF_y-yF_x, так что эта теорема остается верной. Величину хр_у-ур_х мы называли моментом ко­личества движения в плоскости ху, или момен­том количества движения относительно оси z. Кроме плоскости ху, можно использовать дру­гие пары осей и получить другие уравнения. Возьмем, например, плоскость yz. Уже из симметрии ясно, что если мы просто подставим у вместо х, a z вместо у, то для момента силы получим выражение yF_z-zF_y и yp_z-zp_y будет угловым моментом в этой плоскости. Разумеется, можно еще взять и плоскость zx и получить для нее

zF_x-xF_z=d/dt(zp_x-xp_z).

Совершенно ясно, что для движения одной частицы мы получаем и три уравнения для трех плоскостей. Более того, если мы складывали такие величины, как хр_у—ур_х, для многих частиц и называли это полным угловым моментом, то теперь у нас есть три сорта подобных выражений для трех плос­костей: ху, yz и zx, а сделав то же самое с моментами сил, мы можем также говорить и о полных моментах сил в этих плос­костях. Таким образом, появляются законы о том, что внешний момент сил в некоторой плоскости равен скорости изменения углового момента в той же плоскости. Это просто обобщение того, что писалось для двух измерений.

Однако теперь можно сказать: «Но ведь есть еще и другие плоскости. Разве нельзя в конце концов взять плоскость под каким-то углом и вычислять действующие в ней моменты сил. Для каждого такого случая нужно писать другие системы уравнений, так что в результате их наберется масса!» Здесь следует отметить очень интересное обстоятельство. Оказыва­ется, что если мы в комбинации x'F_y'-y'F_x' для «косой» плос­кости выразим величины x', F_y' и т. д. через их компоненты, то результат можно записать в виде некоторой комбинации трех моментов в плоскостях ху, yz и zx. В этом нет ничего но­вого. Другими словами, если нам известны три момента сил в плоскостях ху, yz и zx, то момент сил в любой другой плоскости, как и угловой момент, может быть записан в виде их комби­нации: скажем, 6% одного, 92% другого и т. д. Этим свойством мы сейчас и займемся.

Пусть Джо для своих координатных осей х, у, z определял все моменты сил и все угловые моменты во всех плоскостях. Однако Мик направил свои оси х', у', z' по-другому. Чтобы немного облегчить задачу, предположим, что повернуты только оси x и y. Мик выбрал другие оси х' и у', а его ось z осталась той же самой. Это означает, что плоскости yz и zx у него новые, а поэтому моменты сил и угловые моменты у него тоже окажутся новыми. Например, его момент сил в плоскости х'у' окажется равным

x'F_y'-y'F_x' и т. д. Следующая задача — найти связь между новыми и старыми моментами сил. Ее вполне можно ре­шить, установив связь одного набора осей с другим. «Да это же напоминает то, что мы делали с векторами»,— скажете вы. Действительно, я собираюсь делать в точности то же самое. «А не вектор ли он, этот момент сил?» — спросите вы. Действительно, он — вектор, однако этого нельзя сказать просто так, без всякого математического анализа. Так что следующим этапом должен быть анализ. Однако мы не будем подробно обсуждать каждый шаг, а только покажем, как это все работает. Моменты сил, вычисленные Джо, равны

 

 

В этом месте мы сделаем отступление и заметим, что в подоб­ных случаях, если оси координат выбраны неправильно, для некоторых величин получается неверный знак. Почему бы не написать t_yz=zF_y-yF_z? Этот вопрос связан с тем обстоятель­ством, что система координат может быть либо «левая», либо «правая». Однако выбрав (произвольно) знак, скажем, у t_xy , можно всегда определить правильное выражение для остальных двух величин путем замены по какой-либо из двух схем:

 

Теперь Мик подсчитывает моменты сил в своей системе.

 

 

Пусть одна система координат повернута на угол q по отноше­нию к другой, так что ось z осталась той же самой. (Угол q ничего не имеет общего с вращением объекта или с чем-то про­исходящим внутри системы координат. Это просто связь меж­ду осями, используемыми одним человеком, и осями, исполь­зуемыми другим. Мы предполагаем, что он остается постоян­ным.) При этом координаты в двух системах связаны так:

x'=xcosq+ysinq,

y'=уcosq-хsinq, (20.3)

z'=z.

Точно таким же образом, поскольку сила является вектором, она преобразуется в новой системе координат так же, как х, у и z. Просто, по определению, объект называется вектором тогда и только тогда, когда различные его компоненты преобра­зуются как х, у и z

 

 

Теперь можно определить, как преобразуется момент силы. Для этого в уравнение (20.2) нужно просто подставить вместо х', у' и z' выражение (20.3), а для F_x' , F_y', и F_z'-— выражение (20.4). В результате для t_x'y' получается длинный ряд членов, но оказывается (и на первый взгляд это удивительно), что все сводится просто к выражению xF_y-yF_x, которое, как известно, является моментом силы в плоскости ху:

 

Результат совершенно ясен: ведь мы только повернули оси, лежащие в плоскости ху, при этом момент относительно оси z в этой плоскости не отличается от прежнего: ведь плоскость-то осталась той же самой! Более интересно выражение для t_V'Z' . Здесь уже мы имеем дело с новой плоскостью. Если теперь повторить то же самое с плоскостью y'z', то получим

 

 

И наконец, для плоскости z'x'

 

 

 

Мы хотели найти правило для определения момента сил в новой системе через момент сил в старой и нашли его. Как можно за­помнить это правило? Если внимательно посмотреть на урав­нения (20.5)—(20.7), то нетрудно увидеть, что между ними и уравнениями для х, у и z существует тесная связь. Если каким-то образом мы бы могли назвать t_ху z-компонентой чего-то, скажем z-компонентой вектора t, то все было бы в порядке: уравнение (20.5) мы бы понимали как преобразование вектора t, ибо z-компонента его, как это и должно быть, оставалась бы неизменной. Аналогично, если связать плоскость yz с x-компонентой новоиспеченного вектора, а плоскость zx с у-компонентой, то закон преобразования будет выглядеть так:

 

что в точности соответствует закону преобразования векторов.

Мы, следовательно, доказали, что комбинацию xF_y-yF_x можно отождествить с тем, что обычно называется z-компонентой некоторого искусственно введенного вектора. Хотя момент сил является своего рода «кручением» в плоскости и, казалось бы, не имеет векторного характера, математически он все-таки ведет себя как вектор. Этот вектор направлен под прямым углом к плоскости кручения, а его длина пропорциональна силе круче­ния. Три компоненты такой величины будут преобразовываться при вращении как самый настоящий вектор.

Итак, мы представляем момент силы в виде вектора. Соглас­но правилу, с каждой плоскостью, в которой он действует, мы связываем прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Од­нако перпендикулярность к плоскости оставляет неопределен­ный знак вектора. Чтобы определить его, необходимо еще одно дополнительное правило, которое говорило бы нам, что если момент силы действует определенным образом в плоскости ху, то соответствующий ему вектор направлен «вверх» по оси z. Это означает, что предварительно кто-то должен сказать нам, где «право», а где «лево». Предположим, что система координат xyz правосторонняя; тогда правило должно быть таким: если представить себе кручение как ввертывание болта с правовинтовой резьбой, то направление вектора, связанного с этим кру­чением, определяется поступательным движением болта.

Почему же момент можно отождествить с вектором? А это счастливая случайность: с каждой плоскостью можно связать только одну ось и, следовательно, с моментом можно связать только один вектор. Это свойство — особенность трехмерного пространства. В двумерном пространстве, например, момент — самый обычный скаляр, не нуждающийся в направлении. В трех­мерном пространстве он — вектор. Если бы у нас было четыре измерения, то возникло бы большое затруднение, ибо (если, например, в качестве четвертого измерения взять время) допол­нительно к трем плоскостям xy, yz и zx появятся также плоскости tx, ty и tz. Всего, следовательно, получается шесть плоскостей, а представить шесть величин в виде одного четырехмерного век­тора невозможно.

Однако нам еще долго предстоит оставаться в трехмерном пространстве, поэтому стоит отметить, что в предыдущих мате­матических рассмотрениях совершенно не существенно то, что х — координата, a F — сила, а существен только закон преобразования векторов. Поэтому не будет никакой разницы, если мы вместо координаты х подставим x-компоненту любого другого вектора. Иначе говоря, если мы хотим вычислить величину axb_y-a_yb_x, где а и b — векторы, и назвать ее z-компонентой некоторой новой величины c_z, то эта величина будет вектором с. Было бы хорошо для такой связи трех компонент нового вектора с с векторами а и b придумать какое-то матема­тическое обозначение. Для такой связи пользуются обозначе­нием: c=aXb. Таким образом, в дополнение к обычному ска­лярному произведению в векторном анализе мы получили про­изведение нового сорта, так называемое векторное произведение. Итак, запись c=aXb это то же самое, что

c_x=a_yb_z-а_гb_у,

c_y=a_zb_x-a_xb_z, (20,9)

с_г=а_хb_у -а_уb_х.

Если переменить порядок векторов а и b, т. е. вместо aXbвзять bXa, то знак вектора с при этом изменится, ибо c_z равно b_ха_у-b_уа_х. Векторное произведение поэтому не похоже на обыч­ное умножение, для которого аb=bа. Для векторного произ­ведения bXa=-aXb. Отсюда немедленно следует, что если а=b, то векторное произведение равно нулю, т. е. аXа=0.

Векторное произведение очень хорошо передает свойство вращения, поэтому важно понимать геометрическую связь векторов а, b и с. Связь между компонентами определяется уравнениями (20.9), исходя из которых можно получить сле­дующие геометрические соотношения. Во-первых, вектор с пер­пендикулярен как к вектору а, так и к вектору b. (Попробуйте вычислить сXа и вы увидите, что в результате получится нуль.) Во-вторых, величина вектора с оказывается равной произведе­нию абсолютных величин векторов b и а, умноженному на синус угла между ними. А куда направлен вектор с? Вообразите, что мы доворачиваем вектор а до вектора b в направлении угла, меньшего 180°; если крутить в ту же сторону болт с право-винтовой резьбой, то он должен двигаться в направлении век­тора с. То, что мы берем правовинтовой болт, а не левовинтовой,— простая договоренность, которая постоянно напоминает нам, что в отличие от настоящих, «честных» векторов а и bвектор нового типа аXb по своему характеру слегка отличается от них, ибо строится он искусственно, по особому рецепту. У обычных векторов а и b, кроме того, есть специальное название: мы называем их полярными векторами. Примерами таких векторов служат координата r, сила F, импульс р, скорость v, электрическое поле Е и т. д. Все это обычные полярные век­торы. Векторы же, содержащие одно векторное произведение обычных векторов, называются аксиальными векторами, или псевдовекторами. Примерами псевдовекторов, несомненно, мо­гут служить момент силы t и момент импульса L. Кроме того, оказывается, что угловая скорость w, как и магнитное поле В, тоже псевдовектор.

Чтобы расширить наши сведения о математических свой­ствах векторов, нужно знать все правила их умножения, как векторного, так и скалярного. В настоящий момент нам нужны лишь очень немногие из них, однако в целях полноты мы выпи­шем все правила с участием векторного произведения. Впослед­ствии мы будем ими пользоваться. Эти правила таковы:

а) aX (b+c)=aXb+aXc,

б) (aa)Xb=a (aXb),

в) a• (bXc)=(aXb)•c, (20.10)

г) aX (bXc)=b(a•c)—c(a•b),

д) аXа=0,

е) а•(aXb)=0.