Уравнения вращения в векторном виде

Возникает вопрос: можно ли с помощью векторного произ­ведения записать какое-нибудь уравнение физики? Да, конеч­но, с его помощью записываются очень многие уравнения. Сра­зу же видно, например, что момент силы равен векторному произведению радиус-вектора на силу

t=rXF. (20.11)

Это просто краткая запись трех уравнений: т_x=yF_z-zF_y и т. д. С помощью того же символа можно представить момент количества движения одной частицы в виде векторного произ­ведения вектора расстояния от начала координат (радиус-вектора) на вектор импульса

L=rXp.(20.12)

Векторная форма динамического закона вращения в трехмер­ном пространстве напоминает уравнение Ньютона F=dp/dt; именно вектор момента силы равен скорости изменения со вре­менем вектора момента количества движения

t=dL/dt. (20.13)

Если мы сложим (20.13) для многих частиц, то получим, что внешний момент сил, действующий на систему, равен скорости изменения полного момента количества движения

 

 

Еще одна теорема: если полный момент внешних сил равен нулю, то вектор полного момента количества движения системы остается постоянным. Эта теорема называется законом сохране­ния момента количества движения. Если на данную систему не действуют никакие моменты сил, то ее момент количества дви­жения не изменяется.

А что можно сказать об угловой скорости? Вектор ли она? Мы уже рассматривали вращение твердого тела вокруг неко­торой фиксированной оси, а теперь давайте на минуту предпо­ложим, что оно одновременно вращается вокруг двух осей. Тело может находиться, например, в коробке и вращаться там вокруг некоторой оси, а сама коробка в свою очередь вращается вокруг какой-то другой оси. Результатом же такого сложного движения будет вращение тела вокруг некоторой новой оси. Самое удивительное здесь то, что эта новая ось может быть най­дена следующим образом. Если вращение в плоскости ху пред­ставить как вектор, направленный вдоль оси z, длина которого равна скорости вращения, а в виде другого вектора, направ­ленного вдоль оси y, изобразить скорость вращения в плоско­сти, то, сложив их по правилу параллелограмма, получим ре­зультат, величина которого говорит о скорости вращения тела, а направление определяет плоскость вращения. Попросту го­воря, угловая скорость в самом деле есть вектор, для которого скорость вращения в трех плоскостях представляет прямоуголь­ные проекции на эти плоскости.

В качестве простого примера с использованием вектора угло­вой скорости подсчитаем мощность, затрачиваемую моментом сил, действующим на твердое тело. Так как мощность — это скорость изменения работы со временем, то в трехмерном пространстве она оказывается равной Р=t•w.

Все формулы, которые мы писали для плоского вращения, могут быть обобщены на три измерения. Если взять, например, твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси с угловой скоростью w, то можно спросить: «Чему равна скорость точки с радиус-вектором r?» В качестве упражнения попытайтесь доказать, что скорость частицы твердого тела задается выражением v=wXr, где w — угловая скорость, а r — положение частицы. Другим примером векторного произведения служит формула для кориолисовой силы, которую можно записать как F_K=2mvXw. Иначе говоря, если в системе координат, вращаю­щейся со скоростью w, частица движется со скоростью v и ми все хотим описать через величины этой вращающейся системы, то необходимо добавлять еще псевдосилу f_k.