Комплексные числа

Хотя мы хорошо поработали, все-таки есть еще уравнения, которые нам не под силу! Например, чему равен квадратный ко­рень из -1? Предположим, что это х, тогда х²=-1. Нет ни ра­ционального, ни иррационального числа, квадрат которого был бы равен -1. Придется снова пополнить запас чисел. Предполо­жим, что уравнение х²=-1 все же имеет решение, и обозначим это решение буквой i; число i имеет пока только одно свойство: будучи возведенным в квадрат, оно дает -1. Вот пока и все, что можно о нем сказать. Однако уравнение х²=-1 имеет два корня. Буквой i мы обозначили один из корней, но кто-нибудь может сказать: «А я предпочитаю иметь дело с корнем -i; моя буква i просто минус ваша i». Возразить ему нечего, пото­му что число i определяется соотношением i²=-1; это соотно­шение останется верным, если изменить знак i. Значит, любое уравнение, содержащее какое-то количество i, останется вер­ным, если сменить знаки у всех i. Такая операция называется комплексным сопряжением. Далее, ничто не мешает нам полу­чать новые числа вот так: сложить i несколько раз, умножить i на какое-нибудь наше старое число, прибавить результат умно­жения к старому числу и т. д. Все это можно сделать, не на­рушая ранее установленных правил. Таким образом мы при­ходим к числам, которые можно записать в виде p+iq, где p и q — числа, с которыми мы имели дело ранее, их называют действительными числами. Число i называют мнимой единицей, а произведение действительного числа на мнимую единицу — чисто мнимым числом. Самое общее число а имеет вид a=p+iq, и его называют комплексным числом. Обращаться с комплекс­ными числами несложно; например, нам надо вычислить произ­ведение (r+is)(p+q). Вспомнив о правилах, мы получим

(r+is)(p+iq)=rp+r(iq)+(is)p+(is)(iq)=rp+i(rq)+i(sp)+(ii)(sq)=(rp-sq)+i(rq+sp), (22.4)

потому что ii=i²=-1. Теперь мы получили общее выражение для чисел, удовлетворяющих правилам (22.1).

Умудренные опытом, полученным в предыдущих разделах, вы скажете: «Рано говорить об общем выражении, надо еще оп­ределить, например, возведение в мнимую степень, а потом мож­но придумать много алгебраических уравнений, ну хотя бы x⁶+3x²=-2, для решения которых потребуются новые числа». В том-то и дело, что, кроме действительных чисел, достаточно изобрести только одно число — квадратный корень из -1, после этого можно решить любое алгебраическое уравнение! Эту удивительную вещь должны доказывать уже математики. Дока­зательство очень красиво, очень интересно, но далеко не само­очевидно. Действительно, казалось бы, естественнее всего ожи­дать, что по мере продвижения в дебри алгебраических уравнений придется изобретать снова, снова и снова. Но самое чудесное, что больше ничего не надо изобретать. Это последнее изобре­тение. Изобретя комплексные числа, мы установим правила, по которым с этими числами надо обращаться, и больше ничего изобретать не будем. Мы научимся возводить комплексные числа в комплексную степень и выражать решение любого алгебраи­ческого уравнения в виде конечной комбинации уже известных нам символов. К новым числам это не приведет. Например, квадратный корень из i, или iⁱ— опять те же комплексные числа. Сейчас мы рассмотрим это подробнее.

Мы уже знаем, как надо складывать и умножать комплекс­ные числа; сумма двух комплексных чисел (р+iq)+(r+is) — это число (p+r)+i(q+s). Но вот возведение комплексных чисел в комплексную степень — уже задача потруднее. Однако она оказывается не труднее задачи о возведении в комплексную сте­пень действительных чисел. Посмотрим поэтому, как возводит­ся в комплексную степень число 10, не в иррациональную, а комплексную; нам надо знать число 10^(r+is). Правила (22.1) и (22.2) несколько упрощают задачу

10^(r+is)=10^r10^is (22,5)

Мы знаем, как вычислить 10^r, перемножить числа мы тоже умеем, не умеем только вычислить 10^is. Предположим, что это комплексное число x+iy. Задача: дано s, найти х и у. Если

10^is=x+ iy,

то должно быть верным и комплексно сопряженное уравнение

l0^-is=x-iy,

(Некоторые вещи можно получить и без вычислений, надо про­сто использовать правила.) Перемножая эти равенства, можно получить еще один интересный результат

10^is10^-is=10⁰=1=(x+iy)(x-iy)=x²+y² (22.6)

Если мы каким-то образом найдем х, то определить у будет очень легко.

Однако как все-таки возвести 10 в мнимую степень? Где искать помощи? Правила нам уже не помогут, но утешает вот что: если удастся возвести 10 в какую-нибудь одну мнимую степень, то ничего не стоит возвести 10 уже в любую степень. Если из­вестно 10^is для одного значения s, то вычисление в случае вдвое большего s сводится к возведению в квадрат и т. д. Но как же возвести 10 в хотя бы одну мнимую степень? Для этого сделаем дополнительное предположение; его, конечно, нельзя ставить в один ряд с правилами (22.1) и (22.2), но оно приведет к разумным результатам и позволит нам шагнуть далеко впе­ред. Предположим, что «закон» 10^e=1+2,3025e (когда e очень мало) верен не только для действительных, но и для комплекс­ных e. Если это так, то 10^is=l +2,3025•is при s®0. Предполагая, что s очень мало (скажем, равно 1/1024), мы получаем хорошее приближение числа 10^is.

Теперь можно составить таблицу, которая позволит вычис­лить все мнимые степени 10, т. е. найти числа x и y. Надо посту­пить так. Начнем с показателя 1/1024, который мы считаем равным примерно 1+2,3025 i/1024. Тогда

10^i/1024=1,00000+0,0022486i. (22.7)

Умножая это число само на себя много раз, мы дойдем до сте­пеней более высоких. Мы просто-напросто перевернули про­цедуру составления таблицы логарифмов и, вычислив квадрат, 4-ю степень, 8-ю степень и т. д. числа (22.7), составили табл. 22.3. Интересно, что сначала все числа х были положительными, а потом вдруг появилось отрицательное число. Это значит, что существует число s, для которого действительная часть 10^is равна нулю. Значение у в этом случае равно i, т. е. 10^is=i, или is=log₁₀i. В качестве примера (см. табл. 22..3) вычислим с ее помощью Iog₁₀i. Процедура поиска Iog₁₀i в точности повторяет то, что мы делали, вычисляя log₁₀2.

Произведение каких чисел из табл. 22.3 равно чисто мнимому числу? После нескольких проб и ошибок мы найдем, что лучше всего умножить «512» на «128». Их произведение равно 0,13056+0,99144i. Приглядевшись к правилу умножения ком­плексных чисел, можно понять, что надежду на успех сулит ум­ножение этого числа на число, мнимая часть которого прибли­зительно равна действительной части нашего числа. Мнимая часть «64» равна 0,14349, что довольно близко к 0,13056. Произведение этих чисел равно -0,01350+0,99993i. Мы пе­рескочили через нуль, поэтому результат нужно разделить на 0,99996+0,00900 i. Как это сделать? Изменим знак i и умно­жим на 0,99996-0,00900 i (ведь x²+y²=1). В конце концов обнаружим, что если возвести 10 в степень i(1/1024) (512+128 + +64-4-2+0,20) или 698,20i/1024, то получится мнимая единица. Таким образом, Iog₁₀i=0,068226i.

Таблица 22.3 • последовательное: вычисление квадратов

10^i/1024 =1+0,0022486i

 

 

 

§ 6. Мнимые экспоненты

 

 

Фиг. 22.1. Вещественная и мнимая части функции 10^is.

 

Чтобы лучше понять, что такое число в мнимой степени, вычислим последовательные степени десяти. Мы не будем каж­дый раз удваивать степень, чтобы не повторять табл. 22.3, и по­смотрим, что случится с действительной частью после того, как она станет отрицательной. Результат можно увидеть в табл. 22.4.

В этой таблице собраны последовательные произведения чис­ла 10^i/8. Видно, что x уменьшается, проходит через нуль, дости­гает почти -1 (в промежутке между р=10 и р=11 величина точно равна -1) и возвращается назад. Точно так же величина у ходит взад-вперед.

Точки на фиг. 22.1 соответствуют числам, приведенным в табл. 22.4, а соединяющие их линии помогают следить за из­менением х и у. Видно, что числа х и у осциллируют; 10^is повторяет себя. Легко объяснить, почему так происходит.

Таблица 22.4 • ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧИСЛА 10^i/8

 

Ведь i в четвертой степени — это i² в квадрате. Это число равно единице; следовательно, если 10^0,68i равно i, то, возведя это число в четвертую степень, т. е. вычислив 10^2,72i, мы получим +1. Если нужно получить, например, 10^3,00i, то нужно умно­жить 10^2,72i на 10^0,28i. Иначе говоря, функция 10^is повторяется, имеет период. Мы уже знаем, как выглядят такие кривые! Они похожи на график синуса или косинуса, и мы назовем их на время алгебраическим синусом и алгебраическим косинусом. Теперь перейдем от основания 10 к натуральному основанию. Это только изменит масштаб горизонтальной оси; мы обозначим 2,3025s через t и напишем 10^is=e^it, где t — действительное число. Известно, что e^it=x+iy, и мы запишем это число в виде

e^it=cost+isint. (22.8)

Каковы свойства алгебраического косинуса cost и алгебраи­ческого синуса sint? Прежде всего x²+y²=1; это мы уже до­казали, и это верно для любого основания, будь то 10 или е. Следовательно, cos²t+sin²t=l. Мы знаем, что e^it=1+it для малых t; значит, если t — близкое к нулю число, то cost близок к единице, a sint близок к t. Продолжая дальше, мы придем к выводу, что все свойства этих замечательных функций, получаю­щихся в результате возведения в мнимую степень, в точности совпадают со свойствами тригонометрического синуса и триго­нометрического косинуса.

А как обстоит дело с периодом? Давайте найдем его. В ка­кую степень надо возвести е, чтобы получить i? Иными словами, чему равен логарифм i по основанию е? Мы вычислили уже ло­гарифм i по основанию 10; он равен 0,68226i; чтобы перейти к основанию е, мы умножим это число на 2,3025 и получим 1,5709. Это число можно назвать «алгебраическим p/2». Но по­глядите-ка, оно отличается от настоящего p/2 всего лишь послед­ним десятичным знаком, и это просто-напросто следствие на­ших приближений при вычислениях! Таким образом, чисто ал­гебраически возникли две новые функции — синус и косинус; они принадлежат алгебре и только алгебре. Мы пошли по их сле­дам и обнаружили, что это те же самые функции, которые так естественно возникают в геометрии. Мы отыскали мост между алгеброй и геометрией.

Подводя итог нашим поискам, мы напишем одну из самых замечательных формул математики

e^iq=cosq+isinq. (22.9)

Вот она, наша жемчужина.

Связь между алгеброй и геометрией можно использовать для изображения комплексных чисел на плоскости; точка на плос­кости определяется координатами х и у (фиг. 22.2).

 

 

Фиг. 22.2. Комплексное число как точка на плоскости.

 

Представим каждое комплексное число в виде x+iy. Если расстояние точки от начала координат обозначить через r, а угол радиуса-вектора точки с осью x — через q, то выражение x+iy можно представить в виде reⁱ⁹. Это следует из геометрических соотношений между х, у, r и q. Таким образом, мы объединили алгебру и геометрию. Начиная эту главу, мы знали только целые числа и умели их считать. Зато у нас была небольшая идея о могуществе шага в сторону и обобщения. Используя алгебраические «законы», или свойства чисел, сведенные в уравнения (22.1), и определения обратных операций (22.2), мы смогли создать не только новые числа, но и такие полезные вещи, как таблицы логарифмов, степеней и тригонометрические функции (они возникли при возведении действительных чисел в мнимые степени), и все это удалось сделать, извлекая много раз квадратный корень из десяти!