Комплексные числа и гармоническое движение

Мы снова будем говорить в этой главе о гармоническом осцилляторе, особенно об ос­цилляторе, на который действует внешняя си­ла. Для анализа этих задач нужно развить новую технику. В предыдущей главе мы ввели понятие комплексного числа, которое состоит из действительной и мнимой частей и которое можно изобразить на графике. Действительная часть числа будет изображаться абсциссой, а мнимая — ординатой. Комплексное число а можно записать в виде a=a_r+ia_i; при такой записи индекс r отмечает действительную часть а, а индекс i — мнимую. Взглянув на фиг. 23.1, легко сообразить, что комплексное число a=x+iy можно записать и так: x+iy=rexp(iq), где r²=x²+y²=(x+iy)(x-iy)=aa * (а* — это комплексно сопряженное к а число; оно полу­чается из а изменением знака i).

 

Фиг. 23,1. Комплексное число, изображенное точкой на «комплек­сной плоскости».

Итак, комп­лексное число можно представить двумя спо­собами: явно выделить его действительную и мнимую части или задать его модулем r и фазо­вым углом q. Если заданы r и q, то х и у равны rcosq и rsinq, и, наоборот, исходя из числа x+iy, можно найти r=Ö(x²+y²)и угол q; tgq равен у/х (т. е. отношению мнимой и действи­тельной частей).

Чтобы применить комплексные числа к ре­шению физических задач, проделаем такой трюк. Когда мы изучали осциллятор, то имели дело с внешней силой, пропорциональной coswt. Такую силу F=F₀coswt можно рас­сматривать как действительную часть комп­лексного числа F = F₀exp(iwt), потому что exp(iwt)=coswt+isinwt. Такой переход удобен: ведь иметь дело с экспонентой легче, чем с косинусом. Итак, трюк состоит в том, что все относящиеся к осциллятору функции рассматриваются как действительные части каких-то комплексных функций. Найденное нами ком­плексное число F, разумеется, не настоящая сила, ибо физика не знает комплексных сил: все силы имеют только действитель­ную часть, а мнимой части взяться просто неоткуда. Тем не менее мы будем говорить «сила» F₀exp(iwt), хотя надо помнить, что речь идет лишь о действительной ее части.

Рассмотрим еще один пример. Как представить косинусоидальную волну, фаза которой сдвинулась на D? Конечно, как действительную часть F₀exp[i((wt-D₂)]; экспоненту в этом слу­чае можно записать в виде exp[i(wt-D)]=ехр(iwt)exp(^-iD). Алгебра экспонент гораздо легче алгебры синусов и косинусов; вот почему удобно использовать комплексные числа. Часто мы будем писать так:

 

 

Шляпка над буквой будет указывать, что мы имеем дело с комп­лексным числом, т. е.

 

 

Однако пора начать решать уравнения, используя комплексные числа, тогда мы увидим, как надо применять комплексные чи­сла в реальных обстоятельствах. Для начала попытаемся решить уравнение

 

 

где F — действующая на осциллятор сила, а х — его смещение. Хотя это и абсурдно, предположим, что х и F — комплексные числа. Тогда х состоит из действительной части и умноженной на i мнимой части; то же самое касается и F. Уравнение (23.2) в этом случае означает

 

 

или

 

 

Комплексные числа равны, когда равны их действительные и мнимые части; следовательно, действительная, часть х удовлет­воряет уравнению, в правой части которого стоит действительная часть силы. Оговорим с самого начала, что такое разделение действительных и мнимых частей возможно не всегда, а только в случае линейных уравнений, т. е. уравнений, содержащих х лишь в нулевой и первой степенях. Например, если бы уравне­ние содержало член lх², то, сделав подстановку x_r+ix_t, мы полу­чили бы l(x_r+ix_i)², и выделение действительной и мнимой час­тей привело бы нас к l(х²_r-x²_i) и 2ilx_rx_i. Итак, мы видим, что действительная часть уравнения содержит в этом случае член -lx²_i. Мы получили совсем не то уравнение, какое собирались решать.

Попытаемся применить наш метод к уже решенной задаче о вынужденных колебаниях осциллятора, т. е. об осцилля­торе, на который действует внешняя сила. Как и раньше, мы хотим решить уравнение (23.2), но давайте начнем с уравнения

где — комплексное число. Конечно, х — тоже комп­лексное число, но запомним правило: чтобы найти интересую­щие нас величины, надо взять действительную часть х. Найдем решение (23.3), описывающее вынужденные колебания. О дру­гих решениях поговорим потом. Это решение имеет ту же час­тоту, что и внешняя (приложенная) сила. Колебание, кроме того, характеризуется амплитудой и фазой, поэтому если пред­ставить смещение числом , то модуль его скажет нам о размахе колебаний, а фаза комплексного числа — о временной задержке колебания. Воспользуемся теперь замечательным свойством экс­поненты:

Дифференцируя экспо­ненциальную функцию, мы опускаем вниз экспоненту, делая ее простым множителем. Дифференцируя еще раз, мы снова при­писываем такой же множитель, поэтому очень просто написать уравнение для : каждое дифференцирование по времени надо заменить умножением на iw. (Дифференцирование становится теперь столь же простым, как и умножение! Идея использовать экспоненциальные функции в линейных дифференциальных уравнениях почти столь же грандиозна, как изобретение лога­рифмов, которые заменили умножение сложением. Здесь дифференцирование заменяется умножением.) Таким образом, мы получаем уравнение

 

[Мы опустили общий множитель e^iwt.] Смотрите, как все просто! Дифференциальное уравнение немедленно сводится к чисто алгебраическому; сразу же можно написать его решение

 

поскольку (iw)²=-w². Решение можно несколько упростить, подставив k/m=w²₀, тогда

 

 

Это, конечно, то же самое решение, которое уже было нами по­лучено ранее. Поскольку m(w²₀-w²) — действительное число, то фазовые углы F и х совпадают (или отличаются на 180°, если (w²>w²₀). Об этом тоже уже говорилось. Модуль х, который определяет размах колебаний, связан с модулем F множителем 1/m(w²₀-w²); этот множитель становится очень большим, если w приближается к w₀. Таким образом, можно достичь очень сильного отклика, если приложить к осциллографу нужную ча­стоту w (если с нужной частотой толкать подвешенный на ве­ревочке маятник, то он поднимается очень высоко).