Вынужденные колебания с торможением

Итак, мы можем решить задачу о колебательном движении, пользуясь изящной математикой. Однако изящество немногого стоит, когда задача и так решается просто; математику на­до использовать тогда, когда решаются более сложные зада­чи. Перейдем поэтому к одной из таких задач, которая, кроме того, ближе к действительности, чем предыдущая. Из уравне­ния (23.5) следует, что, если w в точности равна w₀, амплитуда колебания становится бесконечной. Этого, конечно, не может быть, потому что многие вещи, например трение, ограничи­вают амплитуду, а мы их не учитывали. Изменим теперь (23.2) так, чтобы учесть трение.

Сделать это обычно довольно трудно, потому что силы тре­ния очень сложны. Однако во многих случаях можно считать, что сила трения пропорциональна скорости движения объекта. Именно такое трение препятствует медленному движению тела в масле или другой вязкой жидкости. Когда предмет стоит на месте, на него не действуют никакие силы, но чем скорее он движется и чем быстрее масло должно обтекать этот предмет, тем больше сопротивление. Таким образом, мы предположим, что в (23.2), кроме уже написанных членов, су­ществует еще один — сила сопротивления, пропорциональная скорости: F_f=-c(dx/dt). Удобно записать с как произведение m на другую постоянную g, это немного упростит уравнение.

Мы уже проделывали такой фокус, когда заменяли k на mw²₀, чтобы упростить вычисления. Итак, наше уравнение имеет вид

 

или, если положить с=mg и k=mw²₀ и поделить обе части на m,

 

Это самая удобная форма уравнения. Если g очень мало, то мало и трение, и, наоборот, большие значения g соответствуют громадному трению. Как решать это новое линейное уравнение? Предположим, что внешняя сила равна F₀cos(wt+D); можно было бы подставить это выражение в (23.6а) и попытаться ре­шить полученное уравнение, но мы применим наш новый метод. Представим F как действительную часть , a x — как действительную часть и подставим эти комплексные числа в (23.6а). Собственно говоря, и подставлять-то нечего; внимательно посмотрев на (23.6а), вы тут же скажете, что оно превратится в

 

[Если бы мы попытались решить (23.6а) старым прямолиней­ным способом, то оценили бы по достоинству магический «комп­лексный» метод.] Поделив обе части уравнения на exp(iwt), найдем отклик осциллятора на силу

 

 

 

Итак, отклик x равен силе F, умноженной на некоторый множи­тель. Этот множитель не имеет ни названия, ни какой-то своей собственной буквы, и мы будем обозначать его буквой R:

тогда

Этот множитель можно записать либо как p+iq, либо как рехр(iq). Запишем его в виде рехр(iq) и посмотрим, к чему это приведет. Внешняя сила — это действительная часть числа F₀ехр(iD)ехр(iwt), она равна F₀cos(wt+D). Уравне­ние (23.9) говорит нам, что отклик равен ; мы условились

писать R в виде R=rехр(iq); следовательно,

 

Вспомним (об этом уже говорилось), что физическое значение х, равное действительной части комплексного числа х, равно дей­ствительной части rF₀exp[i(q+D)]exp(iwt). Но r и F₀ — действительны, а действительная часть ехр[i(q+D+wt)] — это просто cos(wt+D+q). Таким образом,

x=rF₀cos(wt+D+q). (23.10)

Это значит, что амплитуда отклика равна амплитуде силы F, умноженной на коэффициент усиления r; мы нашли «размах» колебаний. Но это еще не все: видно, что х колеблется не в такт с силой; фаза силы равна D, а у x; она сдвинута на дополни­тельную величину q. Следовательно, r и q — это величина и фазовый сдвиг отклика.

Найдем теперь значение r. Квадрат модуля любого комп­лексного числа равен произведению этого числа на комплексно сопряженное, т. е.

 

Можно найти и фазовый угол q

значит,

Знак минус возник оттого, что tg(-q) =-tgq. Угол q отрицате­лен при всех значениях w, т. е. смещение х отстает по фазе от силы F.

На фиг. 23.2 показано, как изменяется r² при изменении час­тоты (r² для физика интереснее, чем r, потому что r² пропорцио­нально квадрату амплитуды, а значит, и той энергии, которую передает осциллятору внешняя сила).

 

Фиг.23.2. График зависимости r² от w.

 

 

Очевидно, что если g мало, то основной член в (23.11) — это 1/(w²₀-w²)², и отклик стремится к бесконечности, если w приближается к w₀. Но эта «бесконеч­ность» — не настоящая бесконечность, потому что даже если w=w₀, то все еще остается слагаемое 1/g²w². Зависимость сдвига фазы от частоты изображена на фиг. 23.3.

 

Фиг. 23.3. График зависимости q от w.

 

Иногда приходится иметь дело с формулой, немного отли­чающейся от (23.8); она тоже называется «резонансной» и, не­смотря на некоторое отличие от (23.8), описывает те же самые явления. Дело в том, что если значение g очень мало, то наи­более интересная область резонансной кривой лежит около частоты w=w₀, а здесь при малых g формулу (23.8) с большой степенью точности можно заменить приближенной формулой. Поскольку w²₀-w²=(w₀-w)(w₀+w), то для w, очень близких к w₀, разность квадратов почти равна 2w₀(w₀-w), a gw можно заменить на gw₀. Значит, w²₀-w²+gw»2w₀(w₀-w+ig/2) и

 

Легко найти и r²:

А теперь решите сами такую задачу: с увеличением частоты зна­чение r² сначала растет, достигает при w₀ максимума, а потом снова убывает. На каком расстоянии от w₀ расположены часто­ты, которым соответствуют значения r², вдвое меньшие мак­симального? Покажите, что при очень малом g эти точки от­стоят друг от друга на расстояние Dw=g. Это значит, что ре­зонанс делается более острым по мере того, как влияние тре­ния становится все слабее и слабее.

Другой мерой ширины резонанса может служить «доброт­ность» q=w_o/g (чем уже резонанс, тем больше Q); если Q=1000, то по шкале частот ширина резонансной кривой равна всего 0,001. Резонансной кривой на фиг. 23.2 соответствует Q=5.

Явление резонанса важно потому, что оно проявляется доволь­но часто; описанию некоторых видов этих проявлений мы посвя­тим остаток главы.