Затухающие колебания

Вернемся к основной теме — переходным решениям. Пе­реходными решениями называются решения дифференциаль­ного уравнения, соответствующие ситуации, когда внешняя сила не действует, но система тем не менее не находится в покое. (Конечно, лучше всего решать задачу, когда сила не действует, а система покоится, покоится — ну и пусть покоится!) Соответ­ствующие переходным решениям колебания можно вызвать так: заставить силу поработать, а потом выключить ее. Что тогда случится с осциллятором? Сначала подумаем, как будет вести себя система с очень большой Q. Если сила действовала долго, то запасенная энергия была постоянной и работа тратилась лишь для того, чтобы поддержать ее. Предположим теперь, что мы выключили силу, тогда трению, которое раньше поглощало энергию поставщика, питаться больше нечем — кормильца-то нет. И трение начинает пожирать запасенную осциллятором энергию. Пусть добротность системы Q/2p=1000. Это значит, что работа, произведенная за цикл, равна 1/1000 запасенной энергии. Пожалуй, разумно предположить, что при не поддерживае­мых внешней силой колебаниях за каждый цикл будет теряться одна тысячная часть имеющейся к началу цикла энергии. Будем считать, что при больших Q изменение энергии описывается угаданным нами приближенным уравнением (мы еще вернемся к этому уравнению и сделаем его совсем верным!)

 

Уравнение это приближенное, потому что оно справедливо только для больших Q. За каждый радиан система теряет 1/Q часть запасенной энергии Е. Значит, за промежуток времени dt энергия уменьшится в (wdt/Q раз (частота появляется при переводе радианов в настоящие секунды). А какая это частота? Предположим, что система устроена очень жестко, поэтому даже при действии силы она сколько-нибудь заметно колеблется толь­ко со своей собственной частотой. Поэтому будем считать, что w — это резонансная частота w₀. Таким образом, из уравнения (24.8) следует, что запасенная энергия меняется
следующим образом:

 

Теперь нам известно значение энергии в любой момент. Какой будет приближенная формула, определяющая амплитуду коле­баний как функцию времени? Той же самой? Нет! Потенциаль­ная энергия пружины изменяется как квадрат смещения, кинетическая энергия — как квадрат скорости; это приводит к тому, что полная энергия пропорциональна квадрату сме­щения. Таким образом, смещение (амплитуда колебаний) будет уменьшаться с половинной скоростью. Иначе говоря, мы ожидаем, что решение в случае затухающего переходного дви­жения будет выглядеть как колебание с частотой, близкой к ре­зонансной частоте w₀; амплитуда этого колебания будет умень­шаться как ехр(-gt/2)

Эта формула и фиг. 24.1 дают представление о том, чего следует ожидать, а теперь приступим к точному анализу движе­ния, т. е. к решению дифференциального уравнения движения.

 

 

Фиг. 24.1. Затухающие колебания.

 

Как же решить уравнение (24.1), если выкинуть из него внешнюю силу? Будучи физиками, мы интересуемся не столько методом, сколько самим решением. Поскольку мы люди уже опытные, попытаемся представить решение в виде экспоненци­альной кривой, х=Аexp(iat). (Почему мы так поступили? Оттого, что экспоненту легче всего дифференцировать!) Подставим это выражение в (24.1), помня о том, что каждое дифференцирование х по времени сводится к умножению на ia [напомним, что F(t)=0]. Сделать это очень легко, и наше уравнение примет вид

( -a²+iga+w²₀)Ае^iat=0. (24.11)

Левая часть равенства должна быть равна нулю все время, но это возможно только в двух случаях: а) А=0, однако это даже и не решение: ведь тогда все покоится, или б)

 

Если мы сможем решить это уравнение и найти a, то мы найдем и решение, амплитуда которого А не обязательно равна нулю!

 

Чтобы не думать о том, как извлечь квадратный корень, предположим, что g меньше w₀, и поэтому w²₀-g²/4 — положи­тельная величина. Беспокоит другое: почему мы получили два решения! Им соответствуют

 

и

 

Займемся пока первым решением, предположив, что мы ничего не знаем о том, что квадратный корень принимает два значе­ния. В этом случае смещение х равно x₁=Aexp(ia₁t), где А — произвольная постоянная. Чтобы сократить запись, введем специальное обозначение для входящего в a_t квадратного корня:

 

Так, и , или, если воспользоваться замечательным свойством экспоненты,

 

Итак, система осциллирует с частотой w_g , которая в точности не равна частоте w₀, но практически близка к ней, если система достаточно добротна. Кроме того, амплитуда колебаний экспо­ненциально затухает! Если взять действительную часть (24.16), то мы получим

 

Это решение очень напоминает угаданное нами решение (24.10), вот только частота немного другая, w_g. Но это лишь небольшая поправка, значит, первоначальная идея была правильной.

И все-таки не все благополучно! А не благополучно то, что су­ществует второе решение.

Этому решению соответствует a₂, и оно отличается от пер­вого лишь знаком w_g

 

 

Что все это значит? Скоро мы докажем, что если x₁ и х₂— воз­можные решения (24.1) при F(t)=0, то х₁+х₂—тоже решение этого уравнения! Таким образом, общее решение имеет вид

 

Теперь можно спросить: «А, собственно, зачем нам беспокоить себя еще одним решением, если нас вполне устраивало первое? К чему эти дополнительные решения, если мы все равно должны взять только действительную часть?» Мы знаем, что нужно взять действительную часть, но откуда математика знает, что мы хо­тим взять действительную часть? Когда у нас была внешняя сила F(t), то мы ее дополнили искусственной силой, и она каким-то образом управляла мнимой частью уравнения. Но когда мы по­ложили F(t)=0, то соглашение о том, что, каково бы ни было х, нужно взять только его действительную часть, стало нашим лич­ным делом, и математическое уравнение об этом ничего не знало. В мире физики есть только действительные решения, но реше­ние, которому мы так радовались, комплексно. Уравнению не из­вестно, что мы делаем совершенно неожиданный шаг и отбираем только действительную часть, и оно предлагает нам еще, так сказать, комплексно сопряженное решение, чтобы, сложив оба решения, мы получили настоящее действительное решение; вот для чего мы взяли еще и a₂. Чтобы х было действительным, Ввхр(-iw_gt) должно быть комплексно сопряженным к Aexp(iw_gt) числом, тогда мнимая часть исчезнет. Таким образом, В долж­но быть комплексно сопряжено с А, поэтому наше решение имеет вид

 

 

Значит, наши колебания — это колебания с фазовым сдвигом и, как полагается, с затуханием.