Переходные колебания в электрических цепях

Посмотрим, как выглядят переходные колебания. Для этого соберем цепь, изображенную на фиг. 24.2.

 

Фиг. 24,2. Электрическая цепь для демонстраций переходных колебаний.

 

В этой цепи разность потенциалов между концами индуктивности L поступает в осцил­лоскоп. Неожиданное включение рубильника S включает допол­нительное напряжение и вызывает в осцилляторной цепи переходные колебания. Эти колебания аналогичны колебаниям механического осциллятора, вызванными неожиданным ударом. Сама цепь представляет собой электрический аналог механи­ческого осциллятора с затуханием, и мы можем наблюдать коле­бания при помощи осциллоскопа. Он покажет нам кривые, анализом которых мы и займемся. На фиг. 24.3—24.6 представ­лены кривые затухающих колебаний, полученные на экране осциллоскопа. На фиг. 24.3 показаны затухающие колебания в цепи с большой Q, т. е. с малым значением g.

Фиг. 24.3. Затухающие коле­бания.

В такой цепи ко­лебания затухают не очень быстро; мы видим довольно длинную синусоиду с медленно убывающим размахом.

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если мы будем уменьшать Q, так что колебания должны затухать быстрее. Чтобы уменьшить Q, увеличим сопротивление цепи R. При повороте ручки сопротивления колебания действительно зату­хают скорее (фиг. 24.4).

 

 

 

Фиг. 24.4. Колебания затухают быстрее.

 

 

 

Если еще увеличить сопротивление, то колебания затухнут еще быстрее (фиг. 24.5).

Фиг, 24.5. Колебания почти исчезли.

 

 

Но если сопротив­ление увеличить сверх некоторого предела, колебаний мы вооб­ще не увидим. А может быть, нам просто отказывают глаза? Увеличим еще сопротивление и получим тогда кривую, пред­ставленную на фиг. 24.6; по ней можно лишь с натяжкой сказать, что в цепи произошли колебания, ну разве что одно.

 

Фиг. 24.6. Колебаний нет.

 

Можем ли мы математически объяснить это явление?

Сопротивление механического осциллятора, конечно, про­порционально g. В нашем случае g — это R/L. Теперь, если уве­личивать g, то в столь приятных нам решениях (24.14) и (24.15) наступает беспорядок; когда g/2 становится больше w₀, реше­ния приходится записывать по-другому:

 

 

Это снова два решения, которые приводят нас к решениям exp(ia₁t) и ехр(ia₂t). Подставив теперь a₁, получим

 

 

Никаких колебаний. Чисто экспоненциальное убывание. То же самое дает и второе решение

 

Заметим, что квадратный корень не может превысить g/2; даже если w₀=0, оба члена равны. Если же w²₀ отличается от g/²/4, то квадратный корень меньше g//2 и выражение в круглых скобках всегда положительно. Это очень хорошо! Почему? Да потому что если бы это выражение было отрицательным, то е пришлось бы возводить в положительную степень и мы по­лучили бы возрастающее со временем решение. Но при увели­чении в цепи сопротивления колебания не могут возрастать, зна­чит, мы избегли противоречия. Итак, мы получили два решения; оба решения экспоненциально затухают, но одно из них стре­мится «умереть» гораздо скорее. Общее решение, конечно, пред­ставляет собой комбинацию обоих решений, а значения коэф­фициентов А и В зависят от того, как начинаются колебания, каковы начальные условия. В нашей цепи случилось так, что А — отрицательное число, а В — положительное, поэтому на экране осциллоскопа мы увидели разность двух экспонент.

Давайте обсудим, как найти коэффициенты А и В (или А и A*), если известны начальные условия. Предположим, что в момент t=0 нам известны смещение х=х₀ и скорость dx/dt=v₀. Если в соотношения

 

подставить значения t=0, х=х₀, dx/dt=v₀ и воспользо­ваться тем, что е⁰=еⁱ⁰=1, то мы получим

x₀=A+A*=2A_R,

Значит,

 

Таким образом, зная начальные условия, мы полностью определили А и А*, а значит, и кривую переходного решения. Можно записать решение и по-другому. Вспомним, что

e^iq+e^-iq=2cosq и e^iq- e^-iq=2isinq, тогда

 

 

где wg=+Ö(w²₀-(g²/4). Мы получили формулу затухающих колебаний. Такая формула нам не понадобится, однако отметим ее особенности, справедливые и в более общих случаях.

Прежде всего поведение системы, на которую не действует внешняя сила, описывается суммой (суперпозицией) временных экспонент [мы записали их в виде exp(iat)]. Такое решение хорошо передает истинное положение вещей. В общем случае a — это комплексное число, и его мнимая часть соответствует затуханию колебаний. Наконец, тесная математическая связь синусоидальных и экспоненциальных функций, о которой го­ворилось в гл. 22, физически часто проявляется в переходе от колебаний к чисто экспоненциальному затуханию при крити­ческих значениях некоторых параметров системы (в нашем случае это было сопротивление g).