Линейные дифференциальные уравнения

В этой главе мы снова вернемся к некоторым аспектам наших колебательных систем, только постараемся теперь увидеть нечто более общее, стоящее за спиной каждой частной системы. Изучение каждой колебательной системы своди­лось к решению дифференциального уравнения

 

Эта комбинация «операций» над переменной х обладает интересным свойством: если вместо х подставить (х+у), получится сумма одинаковых операций над х и y, а умножение х на число а сводится к умножению на это число первона­чальной комбинации. Это легко доказать. Что­бы не переутомиться, записывая все буквы, вошедшие в (25.1), давайте введем «скоропис­ные» обозначения. Обозначим всю левую часть уравнения (25.1) символом L(х). Увидев такой символ, вы должны мысленно представить себе левую часть уравнения (25.1). Поэтому, соглас­но этой системе, символ L(x+y) будет озна­чать следующее:

 

(Подчеркнем букву L, чтобы не спутать этот символ с обычной функцией.) Иногда мы будем употреблять термин операторная запись, но со­вершенно безразлично, какими словами это называть, просто-напросто это «скоропись». Наше первое утверждение, что

L(x+y)=L(x)+L(y), (25.3)

следует из соотношений а(х+у)=ах+ау, d(x+y)/dt=dx/dt+-dy/dt и т. д.

Легко доказать, что для постоянного а

L(ax)=aL(x). (25.4)

[Соотношения (25.3) и (25.4) тесно связаны одно с другим, потому что, подставив в (25.3) х+х, мы получим (25.4) для част­ного значения а=2 и т. д.]

Решая более сложные задачи, можно получить L, в котором содержится больше членов и более высокие производные. Обыч­но первым делом интересуются, справедливы ли соотношения (25.3) и (25.4). Если они выполняются, то задачу называют линейной. В этой главе мы изучим некоторые свойства систем, следующие только из того факта, что система линейная. Это поможет нам понять общность некоторых свойств изученных ранее частных систем.

Давайте изучим некоторые свойства линейных дифферен­циальных уравнений, причем полезно помнить о хорошо зна­комом нам частном уравнении (25.1). Первое интересное свой­ство: предположим, что мы решаем дифференциальное уравне­ние для переходных движений: свободных колебаний без дейст­вия внешних сил. Нам предстоит решить уравнение

L(x)=0. (25.5)

Предположим, что мы как-то исхитрились одолеть это уравне­ние и нашли его частное решение х₁. Это значит, что нам из­вестна функция x₁, для которой L(x₁)=0. После этого можно за­метить, что ax₁— тоже решение нашего уравнения; можно умножить частное решение уравнения на любую постоянную и получить новое решение. Иначе говоря, если какое-либо ре­шение позволяет частице продвинуться на определенное рас­стояние, то она может совершить и более длинный рейс. Дока­зательство: L(ax₁)=aL(x₁)=a•0=0.

Предположим теперь, что нам удалось все-таки найти не одно частное решение x₁, но и второе х₂ (напомним, что когда мы в поисках переходного решения подставляли x=exp(iat), то мы нашли два значения a, т. е. два решения: x₁ и х₂). Пока­жем теперь, что комбинация x₁+x₂ — тоже решение. Иными словами, если положить x=x₁+x₂, то х — это опять решение уравнения. Почему? Потому что если L(x₁)=0 и L(x₂)=0, то L(x_t+x₂)=L(x₁)+L(x₂)=0+0=0. Таким образом, мы вправе складывать отдельные решения, описывающие движения ли­нейной системы.

Продолжая в том же духе, мы можем сложить шесть первых и два вторых решения; ведь если x₁ есть решение, то ax₁ — тоже решение. Другими словами, любая сумма двух решений, на­пример ax₁+bx₂, удовлетворяет уравнению. Если нам посча­стливится найти три решения, то мы увидим, что любая комби­нация трех решений снова удовлетворяет уравнению, и т. д. Поток таких решений можно ограничить независимыми реше­ниями; в случае осциллятора мы получили только два таких решения. Число независимых решений в общем случае зависит от того, что называется числом степеней свободы. Мы не будем сейчас подробно обсуждать этот вопрос, но в случае дифферен­циального уравнения второго порядка имеются лишь два неза­висимых решения. Если мы найдем оба эти решения, то можно построить общее решение уравнения.

Посмотрим, что будет, когда на систему действует внешняя сила. Предположим, что нам встретилось уравнение

L(x)=F(t) (25.6)

и мы нашли его частное решение. Назовем его решением Джо x_Д, т. е. L(x_Д)=F(t). Хотелось бы найти еще одно решение этого уравнения. Добавим к решению Джо какое-нибудь решение свободного уравнения (25.5), например x₁. Тогда, вспомнив о (25.3), получим

L(x_Д+x_l)=L(x_Д)+L(x₁)=F(t)+0=F(t). (25.7)

Следовательно, добавив к решению уравнения (25.6) любое «свободное» решение, мы получим новое решение. Свободное ре­шение называют еще переходным решением.

Если неожиданно включить внешнюю силу, то движение осциллятора не сразу будет описываться равновесным (синусо­идальным) решением: сначала к нему будут примешиваться пе­реходные решения, которые, если подождать подольше, в конце концов «вымрут». Равновесное решение «выживет», потому что только оно соответствует внешней силе. В конце концов это бу­дет единственным решением, но начальные движения системы зависят от того, какие обстоятельства сопутствуют включе­нию силы.