Колебания в линейных системах

Давайте вспомним, о чем мы говорили в нескольких послед­них главах. Физику колебательных движений очень легко за­темнить математикой. На самом-то деле здесь физика очень про­ста, и если на минуту забыть математику, то мы увидим, что понимаем почти все, что происходит в колебательной системе.

 

Во-первых, если мы имеем дело только с пружинкой и грузи­ком, то легко понять, почему система колеблется — это следст­вие инерции. Мы оттянули массу вниз, а сила тянет ее назад; наступает момент, когда сила равна нулю, но грузик не может остановиться мгновенно: у него есть импульс, который застав­ляет его двигаться. Теперь пружинка тянет грузик в другую сторону, грузик начинает двигаться взад и вперед. Итак, если бы не было трения, то, несомненно, получилось бы колебатель­ное движение, и так оно и есть на самом деле. Но достаточно незначительного трения, чтобы размах следующих колебаний стал меньше, чем раньше.

Что случится потом, после многих циклов? Это зависит от ха­рактера и величины трения. Предположим, что мы придумали такое устройство, что при изменении амплитуды сила трения оказывается пропорциональной другим силам — инерции и натяжению. Иначе говоря, при малых колебаниях трение сла­бее, чем при колебаниях с большой амплитудой. Обычно сила трения таким свойством не обладает, так что можно предполо­жить, что в нашем случае действуют силы трения особого рода — силы, пропорциональные скорости; тогда для больших колеба­ний эти силы будут больше, а для малых — меньше. Если у нас именно такой вид трения, то в конце каждого цикла система будет находиться в тех же условиях, что и в начале цикла, только всего будет меньше. Все силы будут меньше в тех же пропорциях: сила пружинки немного ослабнет, инерциальные эффекты будут меньше. Ведь теперь и ускорения грузика будут меньше, и сила трения ослабеет (об этом мы позаботились, соз­давая наше устройство). Если бы мы имели дело с такими си­лами трения, то увидели бы, что каждое колебание в точности повторяет первое, только амплитуда его стала меньше. Если после первого цикла амплитуда составляла, например, 90% пер­воначальной, то после второго цикла она будет равна 90% от 90% и т. д., т. е. размах колебаний после каждого цикла умень­шается в одинаковое число раз. Кривая, ведущая себя таким образом,— это экспоненциальная функция. Она изменяется в одинаковое число раз на любых интервалах одинаковой длины. Иначе говоря, если отношение амплитуды одного цикла к амплитуде предыдущего равно а, то такое же отношение для вто­рого цикла равно а², затем а³ и т. д. Таким образом, амплитуда колебаний после n циклов равна

А=А₀аⁿ. (25.10)

Но, конечно, n~t, поэтому общее решение будет произведением какой-нибудь периодической функции sinwt или соswt на ам­плитуду, которая ведет себя примерно как b^t. Если b положи­тельно и меньше единицы, то его можно записать в виде е^-c.

Вот почему решение задачи о колебаниях при учете трения бу­дет выглядеть примерно как

ехр(-ct)coswt. Это очень просто.

Что случится, если трение не будет таким искусственным; например обычное трение о стол, когда сила трения по­стоянна по величине, не зависит от размаха колебаний и меняет свое направление каждые полпериода? Тогда уравнения движе­ния станут нелинейными; решить их трудно, поэтому придется прибегнуть к описанному в гл. 2 численному решению или рас­сматривать по отдельности каждую половину периода. Самым мощным, конечно, является численный метод; с его помощью можно решить любое уравнение. Математический анализ ис­пользуется лишь для решения простых задач.

Надо сказать, что математический анализ вообще не такое уж могучее средство исследования; с его помощью можно ре­шить лишь простейшие возможные уравнения. Как только урав­нение чуть усложняется, его уже нельзя решить аналитически. Численный же метод, с которым мы познакомились в начале курса, позволяет решить любое уравнение, представляющее физический интерес.

Пойдем дальше. Что можно сказать о резонансной кривой? Как объяснить резонанс? Представим сначала, что трения нет и мы имеем дело с чем-то, что может колебаться само по себе. Если подталкивать маятник каждый раз, когда он пройдет мимо нас, то очень скоро маятник начнет раскачиваться, как сумас­шедший. А что случится, если мы закроем глаза и, не следя за маятником, начнем толкать его с произвольной частотой, с ка­кой захотим? Иногда наши толчки, попадая не в ритм, будут замедлять маятник. Но когда нам посчастливится найти вер­ный темп, каждый толчок будет достигать маятника в нужный момент и он будет подниматься все выше, выше и выше. Таким образом, если не будет трения, то для зависимости амплитуды от частоты внешней силы мы получим кривую, которая выгля­дит, как сплошная линия на фиг. 25.5.

 

 

Фиг. 25.5. Резонансная кривая, отражающая разнообразные виды трения.

 

Качественно мы по­няли резонансную кривую; чтобы найти ее точные очертания, пожалуй, придется прибегнуть к помощи математики. Кривая стремится к бесконечности, если w®w₀, где w₀— собственная частота осциллятора.

Предположите, что существует слабое трение. Тогда при не­значительных отклонениях осциллятора влияние трения сказы­вается слабо и резонансная кривая вдали от максимума не из­меняется. Однако около резонанса кривая уже не уходит в бесконечность, а просто поднимается выше, чем в остальных ме­стах. Когда амплитуда колебаний достигает максимума, работа, совершенная нами в момент толчка, полностью компенсирует потери энергии на трение за период. Таким образом, вершина кривой закруглена, и она уже не уходит в бесконечность. Чем больше трение, тем больше сглажена вершина кривой. Кто-нибудь может сказать: «Я думал, что ширины резонансных кривых зависят от трения». Так можно подумать, потому что ре­зонансные кривые рисуют, принимая за единицу масштаба вер­шину кривой. Однако если нарисовать все кривые в одном мас­штабе (это прояснит дело больше, чем изучение математических выражений), то окажется, что трение срезает вершину кривой! Если трение мало, мы можем подняться высоко по резонансной кривой; когда трение сгладит кривую, мы на том же интервале частот поднимаемся на меньшую высоту, и это создает ощу­щение ширины. Таким образом, чем выше пик кривой, тем ближе к максимуму точки, где высота кривой равна половине максимума.

Наконец, подумаем, что произойдет при очень большом тре­нии. Ясно, что, если трение очень велико, система вообще не осциллирует. Энергии пружинки едва-едва хватит на борьбу с силами трения, и грузик будет медленно ползти к положению равновесия.