Аналогии в физике

Продолжая обзор, заметим, что массы и пружинки — это не единственные линейные системы; есть и другие. В частности, существуют электрические системы (их называют линейными цепями), полностью аналогичные механическим системам. Мы не старались до конца выяснить, почему каждая часть электри­ческой цепи работает так, а не иначе; это нам еще трудно по­нять. Можно просто поверить, что то или иное поведение каж­дого элемента цепи можно подтвердить экспериментально.

Возьмем для примера простейшее устройство. Приложим к куску проволоки (сопротивлению) разность потенциалов V. Это значит, что если от одного конца проволоки до другого проходит заряд q, то при этом совершается работа qV. Чем вы­ше разность потенциалов, тем большая работа совершается при «падении» заряда с высокопотенциального конца проволоки на низкопотенциальный. Заряды, проходя с одного конца прово­локи на другой, выделяют энергию. Но зарядам не так-то просто плыть вдоль проволоки: атомы проволоки оказывают сопротивление потоку, и это сопротивление подчиняется закону, справедливому почти для всех обычных материалов: ток I про­порционален приложенной к проволоке разности потенциалов. Иначе говоря, число зарядов, проходящих через проволоку за 1 сек, пропорционально силе, с которой их толкают:

V=IR=R(dq/dt), (25.11)

Коэффициент R называют сопротивлением, а само уравнение— законом Ома. Единица сопротивления — ом; он равен отноше­нию одного вольта (1 в) к одному амперу (1 а). В механических устройствах очень трудно отыскать силу трения, пропорцио­нальную скорости, а в электрических цепях — это дело обычное и закон Ома справедлив для большинства металлов с очень высокой точностью.

Нас интересует, много ли совершается работы за 1 сек при прохождении зарядов по проволоке (эту же величину можно назвать потерей мощности или выделяемой зарядами энергией)? Чтобы прогнать заряд q через разность потенциалов V, надо со­вершить работу qV; таким образом, работа за 1 сек равна V(dq/dt), или VI. Это выражение можно записать иначе: IR•I=I2R. Эту величину называют тепловыми потерями; вследствие закона сохранения энергии, такое количество теплоты про­изводит в 1 сек сопротивление проволоки. Эта теплота накаляет проволоку электрической лампы.

У механических устройств есть, конечно, и другие интересные свойства, например, такие, как масса (инерция). В электриче­ских цепях, оказывается, тоже существуют аналоги инерции. Можно построить прибор, называемый индуктором, а свойство, которым он обладает, носит название индуктивность. Ток, попа­дающий в такой прибор, не хочет останавливаться. Чтобы изме­нить ток, к этому прибору нужно приложить разность потенци­алов. Если по прибору течет постоянный ток, то падения по­тенциалов нет. Цепи с постоянным током ничего «не знают» об индуктивности; эффекты индуктивности обнаруживаются толь­ко при изменениях тока. Описывающее эти эффекты уравнение гласит;

V=L(dI/dt)=L(d2q/dt2), (25.12)

а индуктивность измеряется в единицах, которые называются генри (гн). Приложенная к прибору с индуктивностью в 1 гн разность потенциалов в 1 в изменяет ток на 1 а/сек. Уравнение (25.12), если хотите,— электрический аналог закона Ньютона: V соответствует F, L соответствует т, а I — скорости!

Все последующие уравнения, описывающие обе системы, выводятся одинаково, потому что мы просто можем заменить буквы в уравнении для одной системы и получить уравнение для другой системы; любой вывод, сделанный при изучении од­ной системы, будет верен и для другой системы.

Какое электрическое устройство соответствует пружинке, в которой сила пропорциональна растяжению? Если начать с F=kx и заменить F на V, a х на q, то получим V=aq.Мы уже знаем, что такое устройство существует; более того, это единственный из трех элементов цепи, работу которого мы понимаем. Мы уже знакомились с парой параллельных пластинок и обнаружили, что если зарядить пластинки равными, но противоположными по знаку зарядами, то поле между пластинками будет про­порционально величине заряда. Работа, совершаемая при пе­реносе единичного заряда через щель от одной пластинки к дру­гой, прямо пропорциональна заряду пластинок. Эта работа слу­жит определением разности потенциалов и равна линейному ин­тегралу электрического поля от одной пластинки к другой. По исторически сложившимся причинам постоянную пропор­циональности называют не С, а 1/С, т. е.

V=q/C. (25.13)

Единица емкости называется фарадой (ф); заряд в 1 кулон, по­мещенный на каждой пластинке конденсатора емкостью в 1 ф, создает разность потенциалов в 1 в. Вот все нужные аналогии. Теперь можно, заменив m на L, q на х и т. д., написать уравне­ние для резонансной цепи

 

 


 

Все, что мы знаем об уравнении (25.14), можно применить и к уравнению (25.15). Переносится каждое следствие; анало­гов так много, что с их помощью можно сделать замечательные вещи.

Предположим, что мы натолкнулись на очень сложную механическую систему: имеется не одна масса на пружинке, а много масс на многих пружинках, и все это перепутано. Что нам делать? Решать уравнения? Можно и так. Но попробуем соб­рать электрическую цепь, которая будет описываться теми же уравнениями, что и механическое устройство! Если мы собрались анализировать движение массы на пружинке, почему бы нам не собрать цепь, в которой индуктивность пропорциональна массе, сопротивление пропорционально тg, 1/С пропорциональ­но k? Тогда электрическая цепь, конечно, будет точным анало­гом механического устройства в том смысле, что любой отклик q на V (V соответствует действующей силе) в точности соответст­вует отклику х на силу! Перепутав в цепи великое множество сопротивлений, индуктивностей и емкостей, можно получить цепь, имитирующую сложнейшую механическую систему. Что в этом хорошего? Каждая задача, механическая или электриче­ская, столь же трудна (или легка), как и другая: ведь они в точ­ности эквивалентны. Открытие электричества не помогло решить математические уравнения, но дело в том, что всегда легче собрать электрическую цепь и изменять ее параметры.

Предположим, что мы построили автомобиль и хотим узнать, сильно ли его будет трясти на ухабах. Соберем электрическую цепь, в которой индуктивности скажут нам об инерции колес, об упругости колес представление дадут емкости, сопротивле­ния заменят амортизаторы и т. д. В конце концов мы заменим элементами цепи все части автомобиля. Теперь дело за ухабами. Хорошо, подадим на схему напряжение от генератора — он смо­жет изобразить любой ухаб; измеряя заряд на соответствую­щем конденсаторе, мы получаем представление о раскачке колеса. Измерив заряд (это сделать легко), мы решим, что авто­мобиль трясет слишком сильно. Надо что-то сделать. То ли ос­лабить амортизаторы, то ли усилить их. Неужели придется переделывать автомобиль, снова проверять, как его трясет, а потом снова переделывать? Нет! Просто нужно повернуть ручку сопротивления: сопротивление номер 10 — это аморти­затор номер 3; так можно усилить амортизацию. Трясет еще сильнее — не страшно, мы ослабим амортизаторы. Все равно трясет. Изменим упругость пружины (ручка номер 17). Так мы всю наладку произведем с помощью электричества, много­кратным поворотом ручек.

Вот вам аналоговая вычислительная машина. Так называют устройства, которые имитируют интересующие нас задачи, описываемые теми же уравнениями, но совсем другой природы. Эти устройства легко построить, на них легко провести измере­ния, отладить их, и... разобрать!