Задачи принятия статистических решений при обработке экспериментальных данных

Конечной целью обработки экспериментальных данных являются некоторые выводы о состоянии или свойствах исследуемого процесса или объекта. Например, это могут быть выводы о законах распределения случайных величин или параметрах законов распределения, о справедливости каких-либо гипотез и, наконец, выводы о наличии и особенностях взаимосвязей различных показателей, характеризующих свойства объекта. В любом случае из множества возможных выводов необходимо выбрать один, оптимальный в каком-либо смысле. Иначе говоря, необходимо принять решение.

Решением называется некоторое заключение, вывод об исследуемом объекте или его свойствах.

Обработка данных всегда осуществляется в условиях неопределённости, обусловленной неполнотой информации об исследуемом объекте, помехами как естественного, так и искусственного характера. В связи с этим принимаемые решения являются статистическими.

Статистическим решением называется некоторое заключение (вывод) об исследуемом объекте или его свойствах, полученное в результате обработки экспериментальных данных.

Основой для принятия решения являетсярешающее правило (решающая функция), которое служит для выбора из множества возможных решений одного предпочтительного.

Пусть {E} - множество возможных состояний исследуемого объекта; {X_<n>} – множество возможных результатов наблюдений, а – множество возможных решений.

Функция

,

отображающая множество {X_<n>} результатов наблюдений в множество решений , называется решающим правилом (решающей функцией).

Существует много решающих правил, но из этих правил выбирается такое, которое обеспечивает принятие решения требуемого качества, т.е. решения в определённом смысле оптимального.

В связи с этим возникает задача определения оптимального решающего правила. Выбор такого правила определяется рядом факторов:

а) требованиями, которые предъявляются к качеству решения;

б) свойствами экспериментальных данных;

в) условиями, в которых получены данные;

г) дополнительной априорной информацией, которая может быть использована при принятии решения.

Требования к качеству решения определяются потребителем решения (см. рис.1.1) и могут быть сформированы в виде требований минимизации:

- потерь, которые может понести потребитель при неправильном решении;

- риска, связанного с принятием неправильного решения;

- вероятности принятия неправильного решения.

Потерями называются отрицательные последствия, сопровождающие реализацию принятого решения.

Риск – это возможность некоторых потерь со стороны потребителя.

Условия, в которых получены данные, можно разделить на две группы: условия пассивного эксперимента и условия активного эксперимента. В первом случае планирование экспериментальных работ с целью получения данных с необходимыми свойствами отсутствует. Во втором случае эксперимент организуется так, чтобы полученные результаты обладали требуемыми свойствами.

Наиболее важными свойствами совокупности экспериментальных данных, существенно влияющими на качество решающей функции являются объём выборки и её представительность, статистическая устойчивость, однородность, отсутствие аномальных результатов.

Влияние данных свойств на качество решения и вид решающей функции рассмотрено в последующих разделах.

Наиболее важными свойствами априорной информации, оказывающими влияние на формирование решающей функции, являются объём данной информации и её достоверность. Так, в идеальном случае априорная информация I₁ (см. рис.1.1) позволяет получить ряд распределения вероятностей состояний исследуемого объекта, наиболее полной формой информации I₄ является закон распределения вектора результатов наблюдений.

Описание свойств решений может осуществляться с различных позиций. Чаще всего для этого применяется функция потерь.

Пусть множество решений является дискретным и состоит из l альтернативных решений , . Такими же свойствами пусть обладает и множество {E} состояний объекта, мощность этого множества обозначим через m.

Функцией потерь называется функция p(E_i; ), , , характеризующая последствия принятия решения при условии, что объект находится в состоянии E_i:

p(E_i; ) = p_ij. (2.3.1)

Функция (2.3.1) записывается в виде матрицы потерь

.

Следует заметить, что для определённого состояния E_i исследуемого объекта величина потерь в общем случае будет величиной случайной. В дальнейшем будем полагать, что информация I₆ (рис.1.1) представляет собой сведения о функции потерь (2.3.1).

Учитывая изложенное выше, под объёмом априорной информации будем понимать число видов информации, используемой при формировании решающего правила, а под качеством априорной информации – степень её соответствия объективным свойствам исследуемого объекта.

Оптимальным решающим правилом называется правило, обеспечивающее выполнение требований, предъявляемых к качеству решения в конкретных условиях применения данного правила.

Под условиями принятия решения понимается совокупность перечисленных выше факторов, определяющих выбор правила решения. Обозначим вектор условий, в которых применяется решающее правило R_I(X), символом K_<4>. Компонентами данного вектора являются объём K_X1 и качество K_X2 результатов наблюдений, объём K_I1 и качество K_I2 априорной информации:

K_<4> = (K_Х1, K_Х2, K_I1, K_I2)^т.

С учётом этого решающее правило можно представить в виде функции двух переменных – результатов наблюдений и априорной информации, т.е.

R_I(X) = R(X _<n>; I),

а качество (оптимальность) данного правила применительно к условиям K_<4> охарактеризовать показателем

L = f(R; K_<4>),

представляющим собой эффект, который достигается в результате использования решающего правила R в условиях K_<4>. Конкретное выражение показателя L при решении различных задач обработки может быть различным. Поэтому оптимальным решающим правилом R₀ для некоторой совокупности условий обработки K_<4>j, , целесообразно считать правило, обеспечивающее экстремум показателя L в условиях K_<4>j:

,

где {R} – множество решающих правил.

На практике подбор оптимального решающего правила для некоторых условий обработки выполняется на основе принципов принятия решений. В настоящее время сформулирован ряд таких принципов, основными из которых являются принцип максимального правдоподобия и принцип минимальной вероятности ошибки.

Рассмотрим их более подробно.